Эрнст Цермело

Эрнст Цермело (нем. Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo; 27 июля 1871, Берлин — 21 мая 1953, Фрайбург-им-Брайсгау) — немецкий математик и логик, один из основоположников современной теории множеств и аксиоматического метода. Наиболее известен как создатель аксиоматической системы теории множеств (совместно с Абрахамом Френкелем), а также как автор аксиомы выбора и теоремы Цермело о вполне упорядочивании любого множества.

Биография

Ранние годы и образование

Эрнст Цермело родился в Берлине в семье профессора. В 1889 году окончил гимназию в Берлине и поступил в Берлинский университет, где изучал математику, физику и философию. Среди его преподавателей были такие выдающиеся учёные, как Макс Планк, Герман Гельмгольц и Леопольд Кронекер. В 1894 году он защитил докторскую диссертацию по вариационному исчислению в Гёттингенском университете.

Научная карьера

После защиты диссертации Цермело работал ассистентом в Гёттингене, где в 1899 году получил звание приват-доцента. В 1905 году он был назначен экстраординарным профессором в Цюрихском университете, а в 1910 году — ординарным профессором в том же университете. В 1916 году он перешёл в Фрайбургский университет, где проработал до выхода на пенсию в 1935 году.

В 1935 году, после прихода к власти национал-социалистов, Цермело был вынужден уйти в отставку из-за своего несогласия с политикой режима. Он продолжал заниматься математикой частным образом, но его работы этого периода были малоизвестны. После Второй мировой войны он вернулся к преподаванию в Фрайбургском университете, где и умер в 1953 году.

Основные достижения

Аксиома выбора

В 1904 году Цермело опубликовал статью, в которой впервые сформулировал аксиому выбора. Эта аксиома утверждает, что для любого семейства непустых множеств существует функция, выбирающая по одному элементу из каждого множества. Аксиома выбора стала одним из самых спорных и важных положений теории множеств. Она необходима для доказательства многих фундаментальных теорем, таких как теорема Тихонова о компактности, существование базиса Гамеля для любого векторного пространства и теорема Цермело о вполне упорядочивании.

Теорема Цермело о вполне упорядочивании

В 1904 году Цермело доказал, что любое множество может быть вполне упорядочено, то есть для любого множества существует такой порядок, при котором каждое его непустое подмножество имеет наименьший элемент. Это доказательство впервые явно использовало аксиому выбора и вызвало ожесточённые споры среди математиков, в том числе с Леопольдом Кронекером и Анри Пуанкаре.

Аксиоматика Цермело — Френкеля

В 1908 году Цермело опубликовал первую аксиоматическую систему теории множеств, которая включала семь аксиом. Эта система была призвана устранить парадоксы, обнаруженные в наивной теории множеств (например, парадокс Рассела). В 1922 году Абрахам Френкель и независимо от него Торальф Скулем дополнили систему аксиомой подстановки, что привело к созданию современной системы ZFC (Zermelo-Fraenkel with Choice). Система ZFC является стандартной основой для большинства разделов современной математики.

Другие работы

Помимо теории множеств, Цермело внёс вклад в вариационное исчисление, математическую логику, теорию игр и гидродинамику. В 1913 году он опубликовал работу по теории шахмат, в которой ввёл понятие «теоремы Цермело» о существовании выигрышной стратегии в конечных играх с полной информацией. Эта работа считается одной из основополагающих в теории игр.

Критика и полемика

Споры вокруг аксиомы выбора

Аксиома выбора с момента её появления стала предметом интенсивных дискуссий. Многие математики, включая Анри Пуанкаре и Леопольда Кронекера, считали её неочевидной и даже сомнительной. Пуанкаре утверждал, что аксиома выбора не является «логически очевидной» и что её использование может привести к противоречиям. В ответ Цермело написал несколько статей, в которых защищал свою аксиому, доказывая её непротиворечивость относительно других аксиом теории множеств.

Парадокс Цермело — Рассела

В 1902 году Бертран Рассел открыл парадокс, названный его именем, который показал, что наивная теория множеств противоречива. Цермело независимо от Рассела обнаружил аналогичный парадокс, но не опубликовал его. Впоследствии этот парадокс стал известен как парадокс Цермело — Рассела. Он послужил одним из стимулов для создания аксиоматической теории множеств.

Влияние и наследие

Работы Цермело заложили основы современной теории множеств и аксиоматического метода. Система ZFC является стандартом для формализации математики. Аксиома выбора, несмотря на споры, признаётся большинством математиков как необходимый инструмент. Теорема Цермело о вполне упорядочивании и его работы по теории игр также остаются важными для математики и информатики.

Интересные факты

• Цермело был одним из первых, кто предложил использовать аксиоматический метод для обоснования математики.
• В 1905 году он опубликовал работу, в которой доказал, что любое множество может быть вполне упорядочено, что вызвало бурную реакцию в математическом сообществе.
• Цермело был членом Гёттингенской академии наук и Гейдельбергской академии наук.
• В честь Эрнста Цермело назван кратер на Луне.

Источники

• Zermelo, E. (1904). «Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann». Mathematische Annalen, 59(4), 514–516.
• Zermelo, E. (1908). «Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre». Mathematische Annalen, 65(2), 261–281.
• Fraenkel, A. (1922). «Zu den Grundlagen der Cantor-Zermeloschen Mengenlehre». Mathematische Annalen, 86(3–4), 230–237.
• Van Heijenoort, J. (1967). From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931. Harvard University Press.
• Moore, G. H. (1982). Zermelo’s Axiom of Choice: Its Origins, Development, and Influence. Springer-Verlag.