Формула Дарси — Вейсбаха

Формула Дарси — Вейсбаха — это эмпирическое уравнение гидравлики, используемое для расчёта потерь напора (или потерь давления) по длине трубопровода при установившемся течении несжимаемой жидкости. Формула связывает потери напора с длиной и диаметром трубы, скоростью потока и безразмерным коэффициентом гидравлического трения (коэффициентом Дарси). Она является основным инструментом для проектирования водопроводов, нефтепроводов, газопроводов и других систем, где необходимо учитывать сопротивление движению жидкости.

История

Формула носит имена двух учёных, внесших вклад в её развитие. Французский инженер Анри Дарси (1803–1858) на основе экспериментов с водопроводными трубами в Дижоне в 1850-х годах установил, что потери напора пропорциональны длине трубы и квадрату скорости потока. Он опубликовал свои результаты в 1856 году в работе «Общественные фонтаны города Дижона». Позднее, в 1845 году, немецкий математик и физик Юлиус Людвиг Вейсбах (1806–1871) независимо предложил аналогичную формулу, введя в неё безразмерный коэффициент трения. Окончательный вид уравнения, связывающий потери напора с коэффициентом трения, был сформулирован в середине XIX века и получил название формулы Дарси — Вейсбаха. В англоязычной литературе её часто называют уравнением Дарси — Вейсбаха (Darcy–Weisbach equation).

Основное уравнение

Формула Дарси — Вейсбаха для потерь напора по длине записывается следующим образом:

\[ h_f = f \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{v^2}{2g} \]

где:

• \(h_f\) — потери напора по длине (м),
• \(f\) — коэффициент гидравлического трения (безразмерный, также обозначается \(\lambda\)),
• \(L\) — длина участка трубы (м),
• \(D\) — внутренний диаметр трубы (м),
• \(v\) — средняя скорость потока (м/с),
• \(g\) — ускорение свободного падения (м/с², обычно 9,81 м/с²).

Для расчёта потерь давления \(\Delta p\) (Па) используется эквивалентная форма:

\[ \Delta p = f \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{\rho v^2}{2} \]

где \(\rho\) — плотность жидкости (кг/м³).

Коэффициент гидравлического трения

Коэффициент \(f\) (или \(\lambda\)) является ключевым параметром, зависящим от режима течения (ламинарный или турбулентный) и шероховатости стенок трубы. Его определение — основная сложность применения формулы.

Ламинарное течение

При ламинарном течении (число Рейнольдса \(Re < 2000\)) коэффициент трения зависит только от числа Рейнольдса и определяется по формуле Пуазёйля:

\[ f = \frac{64}{Re} \]

где \(Re = \frac{\rho v D}{\mu}\) (\(\mu\) — динамическая вязкость).

Турбулентное течение

При турбулентном течении (\(Re > 4000\)) коэффициент трения зависит как от числа Рейнольдса, так и от относительной шероховатости трубы \(\varepsilon/D\) (где \(\varepsilon\) — средняя высота выступов шероховатости). Для его расчёта используются эмпирические зависимости:

• Формула Блазиуса (для гладких труб при \(4000 < Re < 10^5\)):

\[ f = \frac{0.316}{Re^{0.25}} \]

• Формула Кольбрука (универсальная, для переходной зоны и полностью шероховатых труб):

\[ \frac{1}{\sqrt{f}} = -2 \log_{10} \left( \frac{\varepsilon/D}{3.7} + \frac{2.51}{Re \sqrt{f}} \right) \] Это неявное уравнение, решаемое итерационно.

• Формула Альтшуля (приближённая, для практических расчётов):

\[ f = 0.11 \left( \frac{\varepsilon}{D} + \frac{68}{Re} \right)^{0.25} \]

• Диаграмма Муди — графическое представление зависимости \(f\) от \(Re\) и \(\varepsilon/D\), широко используемое в инженерной практике.

Переходная зона

При \(2000 < Re < 4000\) течение неустойчиво, и точное определение \(f\) затруднено. На практике часто используют линейную интерполяцию или принимают режим турбулентным.

Применение

Формула Дарси — Вейсбаха применяется в различных отраслях:

• Гидротехника и водоснабжение: расчёт напорных водоводов, систем отопления, канализации.
• Нефтегазовая промышленность: проектирование трубопроводов для транспортировки нефти, газа и нефтепродуктов.
• Химическая технология: расчёт трубопроводов для перекачки жидкостей и газов в технологических установках.
• Аэродинамика: оценка потерь давления в воздуховодах систем вентиляции и кондиционирования.

Ограничения и особенности

• Формула справедлива только для установившегося (стационарного) течения несжимаемой жидкости. Для сжимаемых газов при больших перепадах давления требуются корректировки.
• Коэффициент трения \(f\) не является константой и зависит от свойств жидкости, скорости и геометрии трубы.
• Для коротких трубопроводов, где значительны местные потери (на поворотах, задвижках, сужениях), формула применяется совместно с методом эквивалентных длин или с суммированием коэффициентов местных сопротивлений.
• В России и странах СНГ наряду с формулой Дарси — Вейсбаха иногда используется формула Шези, где коэффициент Шези связан с коэффициентом Дарси обратным соотношением.

Сравнение с другими методами

В практике гидравлических расчётов также применяются:

• Формула Хазена — Уильямса (эмпирическая, для водопроводов, не учитывает вязкость).
• Формула Маннинга (для открытых каналов и безнапорных труб).
• Формула Шези (для равномерного движения).

Формула Дарси — Вейсбаха считается более универсальной, так как основана на физических принципах и применима для любых жидкостей и газов, а также для любых режимов течения при правильном определении коэффициента трения.

Источники

1. Дарси, А. «Общественные фонтаны города Дижона». 1856.
2. Вейсбах, Ю. Л. «Учебник по инженерной механике». 1845.
3. Идельчик, И. Е. «Справочник по гидравлическим сопротивлениям». 3-е изд., М.: Машиностроение, 1992.
4. Альтшуль, А. Д. «Гидравлические сопротивления». М.: Недра, 1982.
5. Moody, L. F. «Friction Factors for Pipe Flow». Transactions of the ASME, 1944.