Формула Леви — Хинчина¶

Формула Леви — Хинчина — математическое утверждение в теории вероятностей, описывающее общий вид характеристической функции безгранично делимого распределения. Установлена независимо французским математиком Полем Леви в 1934 году и советским математиком Александром Яковлевичем Хинчиным в 1937 году. Формула играет фундаментальную роль в теории случайных процессов, особенно в теории процессов Леви и устойчивых распределений.

¶Определение

Пусть \( \mu \) — безгранично делимое распределение на вещественной прямой, а \( \varphi(t) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{itx} \, \mu(dx) \) — его характеристическая функция. Тогда существует тройка параметров \( (a, \sigma^2, \nu) \), где \( a \in \mathbb{R} \), \( \sigma^2 \ge 0 \), а \( \nu \) — мера на \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \), удовлетворяющая условию

\[ \int_{\mathbb{R} \setminus \{0\}} \min(1, x^2) \, \nu(dx) < \infty, \]

такая, что

\[ \log \varphi(t) = iat - \frac{\sigma^2 t^2}{2} + \int_{\mathbb{R} \setminus \{0\}} \left( e^{itx} - 1 - \frac{itx}{1+x^2} \right) \nu(dx). \]

Функция \( \nu \) называется мерой Леви, параметр \( a \) — коэффициентом сноса, \( \sigma^2 \) — коэффициентом диффузии. Мера Леви описывает интенсивность скачков распределения: для любого борелевского множества \( A \), отделённого от нуля, величина \( \nu(A) \) равна среднему числу скачков величины, попадающей в \( A \), за единицу времени для соответствующего процесса Леви.

¶Компоненты формулы

Тройка \( (a, \sigma^2, \nu) \) называется характеристической тройкой (или триплетом Леви — Хинчина) распределения. Формула разделяет вклад трёх независимых компонент:

• Детерминированный снос \( a \): линейный член \( iat \) соответствует постоянной скорости смещения.
• Гауссовская (диффузионная) компонента \( \sigma^2 \): член \( -\sigma^2 t^2/2 \) отвечает броуновскому движению (винеровскому процессу).
• Скачкообразная компонента: интеграл по мере Леви описывает вклад разрывных траекторий, включая процессы с конечной и бесконечной интенсивностью скачков.

Выражение \( e^{itx} - 1 - itx/(1+x^2) \) выбрано так, чтобы обеспечить сходимость интеграла для мер с тяжёлыми хвостами; при этом для малых \( x \) подынтегральное выражение ведёт себя как \( O(x^2) \), что компенсирует возможную сингулярность меры Леви в нуле.

¶Частные случаи

Различные выборы триплета приводят к известным классам распределений:

• Если \( \nu = 0 \), формула сводится к характеристической функции нормального распределения \( N(a, \sigma^2) \).
• Если \( \sigma^2 = 0 \) и \( \nu \) — конечная мера, получаются обобщённые распределения Пуассона (компаунд-пуассоновские распределения).
• Если \( \nu(dx) = c |x|^{-\alpha-1} dx \) с \( 0 < \alpha < 2 \), получаются строго устойчивые распределения с показателем \( \alpha \). Для \( \alpha = 1 \) (распределение Коши) и \( \alpha = 2 \) (нормальное) требуются специальные формы меры Леви.
• Гамма-распределение, распределение хи-квадрат и обратное гауссовское распределение также являются безгранично делимыми и допускают представление через формулу Леви — Хинчина.

¶Многомерное обобщение

Формула обобщается на случай распределений в \( \mathbb{R}^d \). В этом случае \( a \in \mathbb{R}^d \), \( \sigma^2 \) заменяется на неотрицательно определённую симметричную матрицу \( A \) размера \( d \times d \), а мера Леви \( \nu \) задаётся на \( \mathbb{R}^d \setminus \{0\} \) с условием интегрируемости \( \int \min(1, |x|^2) \, \nu(dx) < \infty \). Характеристическая функция принимает вид

\[ \log \varphi(t) = i\langle a, t \rangle - \frac{1}{2} \langle At, t \rangle + \int_{\mathbb{R}^d \setminus \{0\}} \left( e^{i\langle t, x \rangle} - 1 - \frac{i\langle t, x \rangle}{1+|x|^2} \right) \nu(dx). \]

¶Значение и применение

Формула Леви — Хинчина является центральным инструментом теории процессов Леви — класса случайных процессов с независимыми стационарными приращениями. Она позволяет классифицировать все такие процессы и строить их траектории через суперпозицию трёх указанных компонент. На практике формула применяется:

• в математической физике (квантовая теория поля, статистическая механика);
• в финансовой математике для моделирования скачкообразных изменений цен активов (модели Variance Gamma, CGMY, нормальное обратное гауссовское распределение);
• в теории рисков и актуарной математике при описании распределений сумм убытков;
• в обработке сигналов и теории телекоммуникационных сетей.

Обратное утверждение — что любая функция вида (1) с произвольной допустимой тройкой \( (a, \sigma^2, \nu) \) является характеристической функцией некоторого безгранично делимого распределения — также верно и составляет содержание теоремы Леви — Хинчина в полном объёме.

¶Источники

• Леви П. Théorie de l’addition des variables aléatoires. — Paris: Gauthier-Villars, 1937.
• Хинчин А. Я. К теории безгранично делимых законов распределения // Математический сборник. — 1937. — Т. 2 (44). — С. 79–119.
• Сато К. Процессы Леви и безгранично делимые распределения. — Cambridge University Press, 1999.
• Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения. — Т. 2. — М.: Мир, 1984.