Формула Журавского

Формула Журавского — это аналитическое выражение в сопротивлении материалов, устанавливающее связь между поперечной силой, действующей в поперечном сечении балки, и касательными напряжениями, возникающими в этом сечении при изгибе. Формула позволяет определить распределение касательных напряжений по высоте сечения и является фундаментальной для расчёта балок на прочность при поперечном изгибе. Названа в честь русского инженера и учёного Дмитрия Ивановича Журавского, который впервые вывел её в 1855 году.

История открытия

В середине XIX века, в период активного строительства железных дорог и мостов в Российской империи, возникла практическая необходимость в точных методах расчёта несущих конструкций. Дмитрий Иванович Журавский, работавший над проектированием и строительством Петербурго-Московской (Николаевской) железной дороги, столкнулся с задачей оценки прочности деревянных и металлических балок, подверженных поперечному изгибу.

Существовавшая на тот момент теория изгиба, основанная на гипотезе плоских сечений (гипотеза Бернулли), позволяла корректно определять только нормальные напряжения от изгибающего момента, но не учитывала касательные напряжения, возникающие от поперечной силы. Журавский, анализируя разрушение деревянных балок, заметил, что трещины часто возникают не только в зоне максимальных нормальных напряжений, но и вблизи нейтральной оси, где нормальные напряжения равны нулю. Это указывало на наличие значительных касательных напряжений, которые не описывались классической теорией.

В 1855 году Журавский опубликовал работу «О мостах раскосной системы Гау», где впервые вывел зависимость для касательных напряжений при изгибе. Вывод был основан на рассмотрении равновесия элемента балки, выделенного двумя поперечными сечениями, и учёте изменения нормальных напряжений по длине балки. Формула быстро вошла в инженерную практику и стала одним из ключевых инструментов строительной механики.

Вывод формулы

Формула Журавского выводится из условия равновесия элементарного объёма балки при поперечном изгибе. Рассматривается участок балки длиной \(dx\), на который действуют изгибающие моменты \(M\) и \(M + dM\), а также поперечная сила \(Q\). В продольном сечении, проведённом на расстоянии \(y\) от нейтральной оси, возникают касательные напряжения \(\tau\).

Баланс продольных сил, действующих на отсечённую часть сечения, приводит к следующему выражению:

\[ \tau(y) = \frac{Q(y) \cdot S_{z}^{*}(y)}{b(y) \cdot I_{z}} \]

где:

• \(\tau(y)\) — касательное напряжение в точке сечения на расстоянии \(y\) от нейтральной оси;
• \(Q(y)\) — поперечная сила в рассматриваемом поперечном сечении;
• \(S_{z}^{*}(y)\) — статический момент отсечённой части сечения относительно нейтральной оси \(z\);
• \(b(y)\) — ширина поперечного сечения на уровне, где определяется напряжение (на расстоянии \(y\) от нейтральной оси);
• \(I_{z}\) — осевой момент инерции всего поперечного сечения относительно нейтральной оси \(z\).

Формула справедлива для упругой стадии работы материала при соблюдении гипотезы плоских сечений и при условии, что материал подчиняется закону Гука.

Распределение касательных напряжений для различных сечений

Прямоугольное сечение

Для балки прямоугольного сечения шириной \(b\) и высотой \(h\) формула Журавского даёт параболическое распределение касательных напряжений по высоте:

\[ \tau(y) = \frac{3Q}{2bh} \left(1 - \frac{4y^{2}}{h^{2}}\right) \]

Максимальное напряжение достигается на нейтральной оси (\(y = 0\)):

\[ \tau_{\max} = \frac{3Q}{2bh} = 1.5 \cdot \frac{Q}{A} \]

где \(A = bh\) — площадь поперечного сечения. На крайних волокнах (\(y = \pm h/2\)) касательные напряжения равны нулю.

Круглое сечение

Для сплошного круга диаметром \(d\) максимальное касательное напряжение также возникает на нейтральной оси и вычисляется по формуле:

\[ \tau_{\max} = \frac{4Q}{3A} = \frac{4Q}{3 \pi r^{2}} \]

где \(A\) — площадь круга, \(r\) — радиус. Распределение напряжений по высоте имеет более сложный вид, чем для прямоугольника, но также подчиняется параболическому закону.

Двутавровое сечение

Для двутавра (балка с широкими полками и тонкой стенкой) характер распределения касательных напряжений существенно отличается:

• В полках напряжения малы и распределены практически равномерно, так как ширина полки \(b\) велика, а статический момент отсечённой части мал.
• В стенке напряжения значительны и распределены почти равномерно по высоте, с небольшим максимумом на нейтральной оси.

Формула для стенки двутавра:

\[ \tau_{\max} \approx \frac{Q}{b_{\text{ст}} \cdot h_{\text{ст}}} \]

где \(b_{\text{ст}}\) — толщина стенки, \(h_{\text{ст}}\) — высота стенки. В инженерных расчётах часто принимают, что вся поперечная сила воспринимается только стенкой двутавра.

Применение в инженерных расчётах

Формула Журавского используется для проверки прочности балок при поперечном изгибе по касательным напряжениям. Особенно важна эта проверка для:

• Коротких балок (с малым отношением длины к высоте), где касательные напряжения могут быть соизмеримы с нормальными.
• Деревянных балок, у которых прочность на скалывание вдоль волокон значительно ниже прочности на растяжение или сжатие.
• Составных балок (клеёных, сварных, заклёпочных), где прочность соединения элементов (клеевого шва, сварного шва, заклёпок) определяется касательными напряжениями.
• Балок из хрупких материалов (например, чугуна), которые плохо работают на сдвиг.

В рамках метода предельных состояний проверка прочности по касательным напряжениям выполняется по условию:

\[ \tau_{\max} \leq R_{s} \]

где \(R_{s}\) — расчётное сопротивление материала сдвигу (скалыванию).

Критика и ограничения

Формула Журавского, будучи классической, имеет ряд ограничений:

• Она справедлива только для упругой стадии работы материала. При появлении пластических деформаций распределение напряжений перераспределяется, и формула даёт заниженные значения.
• Формула не учитывает концентрацию напряжений в местах резкого изменения формы сечения (например, в углах двутавра или в местах приложения сосредоточенных сил).
• Вывод основан на гипотезе плоских сечений, которая нарушается вблизи опор и в зонах действия сосредоточенных нагрузок (принцип Сен-Венана).
• Для тонкостенных стержней открытого профиля (швеллеры, уголки) формула даёт приближённые значения, и для точного расчёта требуется теория изгиба тонкостенных стержней Власова.

Несмотря на эти ограничения, формула Журавского остаётся основным инструментом для практических инженерных расчётов балок на прочность при поперечном изгибе в рамках курса сопротивления материалов.

Интересные факты

• Дмитрий Журавский вывел свою формулу, не имея формального высшего образования. Он был практическим инженером, окончившим Институт Корпуса инженеров путей сообщения в Санкт-Петербурге, где преподавание велось на высоком уровне.
• В западной литературе формула часто называется «формулой Журавского — Коллиньона» (Collignon), так как французский инженер Эдуард Коллиньон независимо пришёл к аналогичному результату в 1877 году, на 22 года позже.
• Формула Журавского лежит в основе расчёта заклёпочных и сварных соединений в металлических конструкциях, где касательные напряжения определяют несущую способность соединения.
• В современной компьютерной механике (метод конечных элементов) распределение касательных напряжений в балках рассчитывается численно, но формула Журавского используется для верификации результатов и для предварительных (ручных) расчётов.

Источники

1. Д. И. Журавский. «О мостах раскосной системы Гау» (1855).
2. А. В. Александров, В. Д. Потапов, Б. П. Державин. «Сопротивление материалов». — М.: Высшая школа, 2003.
3. Г. С. Писаренко, А. П. Яковлев, В. В. Матвеев. «Справочник по сопротивлению материалов». — Киев: Наукова думка, 1988.
4. С. П. Тимошенко. «История науки о сопротивлении материалов». — М.: Гостехиздат, 1957.
5. Н. М. Беляев. «Сопротивление материалов». — М.: Наука, 1976.