Группа Гейзенберга

Группа Гейзенберга — это фундаментальное понятие в квантовой механике, представляющее собой математическую структуру, описывающую алгебру канонических коммутационных соотношений между операторами координаты и импульса. В более широком смысле, группа Гейзенберга — это группа Ли, ассоциированная с этой алгеброй, и она играет ключевую роль в квантовой теории, теории представлений и гармоническом анализе. Названа в честь немецкого физика Вернера Гейзенберга, одного из основоположников квантовой механики.

Определение и алгебра Ли

Группа Гейзенберга H_n (или H_n(R)) над полем действительных чисел R определяется как группа матриц вида:

\[ \begin{pmatrix} 1 & \mathbf{a} & c \\ 0 & I_n & \mathbf{b} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

где:

• \(\mathbf{a}\) — это строка-вектор длины \(n\) (координаты импульса),
• \(\mathbf{b}\) — это столбец-вектор длины \(n\) (координаты координаты),
• \(c\) — действительное число (центральный элемент),
• \(I_n\) — единичная матрица размера \(n \times n\).

Умножение в этой группе задаётся правилом:

\[ (\mathbf{a}, \mathbf{b}, c) \cdot (\mathbf{a}', \mathbf{b}', c') = (\mathbf{a} + \mathbf{a}', \mathbf{b} + \mathbf{b}', c + c' + \frac{1}{2}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}' - \mathbf{a}' \cdot \mathbf{b})) \]

где \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}'\) — скалярное произведение.

Алгебра Ли группы Гейзенберга, обозначаемая \(\mathfrak{h}_n\), порождается элементами \(P_i, Q_j, Z\) (где \(i, j = 1, \dots, n\)), удовлетворяющими следующим коммутационным соотношениям:

\[ [P_i, Q_j] = \delta_{ij} Z, \quad [P_i, P_j] = 0, \quad [Q_i, Q_j] = 0, \quad [P_i, Z] = 0, \quad [Q_i, Z] = 0 \]

Здесь \(\delta_{ij}\) — символ Кронекера. Эти соотношения являются математической формулировкой канонических коммутационных соотношений квантовой механики, где \(P_i\) соответствует оператору импульса, \(Q_j\) — оператору координаты, а \(Z\) — центральный элемент, пропорциональный постоянной Планка \(\hbar\).

Связь с квантовой механикой

В квантовой механике физические наблюдаемые (координата и импульс) представляются самосопряжёнными операторами в гильбертовом пространстве, которые не коммутируют друг с другом. Группа Гейзенберга возникает как группа симметрии, порождённая этими операторами. В частности, унитарные представления группы Гейзенберга описывают квантовые системы с конечным числом степеней свободы.

Центральный элемент \(Z\) в представлении обычно отождествляется с мнимой единицей, умноженной на постоянную Планка (\(\hbar i\)), что приводит к соотношению неопределённостей Гейзенберга. Таким образом, группа Гейзенберга является математической основой для понимания некоммутативности квантовых наблюдаемых.

Типы и размерности

Группа Гейзенберга существует в двух основных вариантах:

Конечномерная группа Гейзенберга

Это классическая группа Ли, описанная выше. Она является нильпотентной группой Ли ступени 2. Её размерность как многообразия равна \(2n+1\). Для \(n=1\) группа Гейзенберга H_1 представляет собой трёхмерную группу, часто называемую группой Гейзенберга в узком смысле.

Бесконечномерная группа Гейзенберга

В квантовой теории поля и статистической механике рассматривается бесконечномерный аналог — группа Гейзенберга над бесконечномерным пространством. Она также играет важную роль в теории представлений и квантовании.

Представления

Теория представлений группы Гейзенберга является классической и хорошо изученной. Основные результаты:

Теорема Стоуна — фон Неймана

Это центральная теорема, утверждающая, что все неприводимые унитарные представления группы Гейзенберга с ненулевым центральным характером (т.е. когда \(Z\) действует как ненулевая константа) унитарно эквивалентны. Другими словами, существует только одно (с точностью до унитарной эквивалентности) представление канонических коммутационных соотношений для фиксированного значения постоянной Планка. Это представление реализуется в пространстве \(L^2(\mathbb{R}^n)\) квадратично интегрируемых функций на \(\mathbb{R}^n\).

Представление Шрёдингера

В этом представлении операторы координаты и импульса действуют на функции \(\psi(x) \in L^2(\mathbb{R}^n)\) как:

• \(Q_j \psi(x) = x_j \psi(x)\) (умножение на координату),
• \(P_j \psi(x) = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x_j} \psi(x)\) (дифференцирование).

Это наиболее распространённая форма в квантовой механике.

Представление Фока

Используется в квантовой теории поля. В нём операторы рождения и унижения (линейные комбинации \(P\) и \(Q\)) действуют в пространстве Фока — гильбертовом пространстве, построенном как прямая сумма симметричных тензорных степеней одночастичного пространства.

Применение

Помимо квантовой механики, группа Гейзенберга находит применение в различных областях математики и физики:

• Гармонический анализ: Группа Гейзенберга является простейшим примером нильпотентной группы Ли, на которой изучаются преобразования Фурье, вейвлет-анализ и теория когерентных состояний.
• Теория чисел: В частности, в связи с автоморфными формами и L-функциями.
• Квантовая теория поля: В квантовании калибровочных полей и струн.
• Квантовая информация: В задачах, связанных с непрерывными переменными, например, в квантовой телепортации и квантовой криптографии.
• Математическая физика: В теории квантовых групп и некоммутативной геометрии.

Интересные факты

• Группа Гейзенберга является прототипом для более общих нильпотентных групп Ли, используемых в теории представлений.
• Её алгебра Ли является центральным расширением абелевой алгебры Ли, что отражает некоммутативность квантовых наблюдаемых.
• В квантовой механике группа Гейзенберга часто называется группой Вейля (по имени Германа Вейля), который внёс значительный вклад в её математическую формализацию.
• Теорема Стоуна — фон Неймана является одним из важнейших результатов в математических основах квантовой механики, гарантируя единственность представления канонических коммутационных соотношений.

Источники

• Гейзенберг В. «Физические принципы квантовой теории». — М.: Наука, 1964.
• Вейль Г. «Теория групп и квантовая механика». — М.: Наука, 1986.
• Фаддеев Л. Д., Якубовский О. А. «Лекции по квантовой механике для студентов-математиков». — Ижевск: РХД, 2001.
• Кириллов А. А. «Элементы теории представлений». — М.: Наука, 1978.