Жак Титс

Жак Титс (фр. Jacques Tits; 12 августа 1930, Уккел, Бельгия — 5 декабря 2021, Париж, Франция) — бельгийский и французский математик, один из крупнейших специалистов XX века в области теории групп и геометрии. Наиболее известен созданием теории групп Титса, введением понятия здания (англ. building) и классификацией алгебраических групп над произвольными полями. Лауреат премии Вольфа по математике (1993) и Абелевской премии (2008). Член Французской академии наук (1979) и ряда других академий.

Биография

Ранние годы и образование

Жак Титс родился 12 августа 1930 года в Уккеле, пригороде Брюсселя, в семье Леона Титса, инженера-химика, и Мари-Луизы Титс. В детстве проявил выдающиеся математические способности: в 11 лет самостоятельно изучил основы проективной геометрии, а в 14 лет опубликовал первую научную работу в журнале Bulletin de la Société Mathématique de Belgique. В 1948 году поступил в Свободный университет Брюсселя, где в 1950 году получил степень лиценциата (эквивалент магистра) по математике. В 1952 году защитил докторскую диссертацию на тему «Группы, порождённые отражениями» (фр. Groupes engendrés par des réflexions), в которой заложил основы теории групп Кокстера.

Карьера

С 1952 по 1954 год Титс работал ассистентом в Свободном университете Брюсселя. В 1954 году перешёл в Брюссельский университет (ULB), где в 1957 году стал профессором. В 1960 году он принял приглашение Боннского университета (Германия), где возглавил кафедру математики. В 1973 году переехал во Францию, получив должность профессора Коллеж де Франс в Париже, где проработал до выхода на пенсию в 1998 году. В 1974 году принял французское гражданство. После выхода на пенсию продолжал активную научную деятельность до середины 2010-х годов.

Личная жизнь

Титс был женат на Мари-Жанне Титс (урождённой Лефевр), с которой прожил более 60 лет. У них не было детей. В свободное время увлекался классической музыкой и игрой на фортепиано. Скончался 5 декабря 2021 года в Париже в возрасте 91 года.

Научный вклад

Теория групп Кокстера и отражений

В докторской диссертации (1952) Титс систематизировал и развил теорию групп, порождённых отражениями в евклидовом пространстве. Он ввёл понятие группы Кокстера (в честь Х. С. М. Кокстера) как абстрактной группы, заданной образующими и соотношениями, соответствующими отражениям. Титс доказал, что любая конечная группа Кокстера может быть реализована как группа отражений в некотором евклидовом пространстве. Этот результат стал основой для дальнейших работ в геометрии и теории представлений.

Здания Титса

Наиболее известное достижение Титса — создание теории зданий (англ. buildings), введённых им в 1960-х годах. Здание — это симплициальный комплекс, моделирующий структуру алгебраической группы над полем. Титс показал, что здания могут быть классифицированы с помощью диаграмм Дынкина, а их автоморфизмы соответствуют группам Ли. Эта теория позволила единообразно описать все классические и исключительные группы Ли, включая группы над конечными полями. Здания Титса нашли применение в комбинаторике, геометрии и теории чисел.

Теория групп Титса

В 1964 году Титс ввёл понятие группы Титса — простой конечной группы, которая не является группой Ли, но обладает схожими свойствами. Примером является спорадическая группа Титса (T), открытая им в 1964 году. Эта группа порядка 2¹¹·3³·5²·13 = 17 971 200 является одной из 26 спорадических групп, классифицированных в рамках программы классификации конечных простых групп. Титс также внёс вклад в классификацию групп Шевалле и групп Стейнберга.

Классификация алгебраических групп

В 1960-х годах Титс совместно с Клодом Шевалле и Арманом Борелем разработал теорию алгебраических групп над произвольными полями. Он доказал теорему Титса о существовании и единственности параболических подгрупп в алгебраических группах. В 1971 году он опубликовал монографию «Группы Шевалле» (фр. Groupes de Chevalley), которая стала стандартным справочником по теории групп Ли над конечными полями.

Другие достижения

Титс внёс вклад в теорию представлений, комбинаторику и геометрию. В 1974 году он совместно с Жаном-Пьером Серром доказал теорему Титса — Серра о связи между группами Кокстера и комплексами зданий. В 1980-х годах он занимался теорией гиперболических групп и групп, действующих на деревьях. В 1990-х годах Титс исследовал структуру групп, порождённых отражениями в пространствах Лобачевского.

Награды и признание

• Премия Вольфа по математике (1993) — «за фундаментальный вклад в теорию групп, особенно в теорию зданий и классификацию алгебраических групп».
• Абелевская премия (2008) — «за глубокие достижения в теории групп, особенно в теории зданий и классификации алгебраических групп».
• Член Французской академии наук (1979).
• Член Американской академии искусств и наук (1980).
• Член Лондонского королевского общества (1988).
• Почётный доктор университетов Брюсселя, Бонна, Оксфорда и других.

Память

Имя Жака Титса увековечено в названиях математических объектов:

• Группа Титса — спорадическая простая группа.
• Здание Титса — симплициальный комплекс, моделирующий алгебраические группы.
• Теорема Титса — о параболических подгруппах.
• Премия Титса — награда, присуждаемая Бельгийским математическим обществом молодым математикам.

Основные публикации

1. Tits J. Groupes engendrés par des réflexions // Bulletin de la Société Mathématique de Belgique, 1952.
2. Tits J. Buildings of Spherical Type and Finite BN-Pairs // Lecture Notes in Mathematics, 1974.
3. Tits J. Groupes de Chevalley // Springer, 1971.
4. Tits J. (совместно с J.-P. Serre) Groupes de Coxeter et immeubles // Publications Mathématiques de l'IHÉS, 1974.

Источники

• Borel A., Serre J.-P. Jacques Tits (1930–2021) // Notices of the American Mathematical Society, 2022.
• Coxeter H. S. M. Regular Polytopes. — Dover, 1973.
• Humphreys J. E. Reflection Groups and Coxeter Groups. — Cambridge University Press, 1990.
• Ronan M. Buildings: Main Ideas and Applications. — Springer, 2009.
• Абелевская премия 2008 года: официальное объявление Норвежской академии наук.