Интеграл — математическое понятие¶

Интеграл — понятие математического анализа, обозначающее предельное значение суммы бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых; в геометрическом смысле интеграл от неотрицательной функции равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции и осью абсцисс. Слово «интегральный» происходит от латинского integralis — «целый», «составляющий целое», и употребляется в математике, физике, технике и философии в значении «относящийся к целому, включающий в себя все части». Понятие интеграла — одно из центральных в высшей математике и служит основой для определения площади, объёма, длины дуги, массы, работы силы и ряда других физических величин.

¶История

Идея суммирования бесконечно малых величин возникла ещё в античности. Архимед в III веке до н. э. при вычислении площади параболической сегмента использовал метод «исчерпывания», суть которого сводилась к замене фигуры вписанными и описанными многоугольниками с последующим уточнением результата. В XVII веке Бонавентура Кавальери сформулировал принцип, известный как метод неделимых, а Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц независимо друг от друга создали основы дифференциального и интегрального исчисления. Лейбниц ввёл сам символ интеграла ∫ (стилизованная буква S от латинского summa — «сумма») и показал, что интегрирование и дифференцирование являются взаимно обратными операциями — это положение получило название основной теоремы интегрального исчисления.

В XIX веке строгое обоснование интеграла дал Бернард Риман, определив его как предел интегральных сумм (так называемый интеграл Римана). Позднее Анри Лебег предложил более общую конструкцию — интеграл Лебега, основанную на мере множеств, что позволило интегрировать значительно более широкий класс функций. В России развитие теории интеграла связано с именами М. В. Остроградского, А. М. Ляпунова, С. Н. Бернштейна и других математиков.

¶Виды интегралов

Основные разновидности интеграла:

• Определённый интеграл — число, равное пределу интегральных сумм на отрезке $[a, b]$; обозначается $\int_a^b f(x)\,dx$.
• Неопределённый интеграл — множество всех первообразных функции $f(x)$, то есть функций $F(x)$, производная которых равна $f(x)$; обозначается $\int f(x)\,dx = F(x) + C$.
• Кратные интегралы — двойные, тройные и более общие интегралы по области многомерного пространства; используются для вычисления площадей, объёмов, моментов инерции.
• Криволинейные и поверхностные интегралы — интегрирование вдоль кривой или по поверхности; применяются в векторном анализе.
• Интегралы с переменными границами — интеграл, верхняя и нижняя границы которого являются функциями; производная такого интеграла вычисляется по формуле Ньютона — Лейбница.
• Несобственные интегралы — интегралы, вычисляемые на бесконечных интервалах или при неограниченных подынтегральных функциях, определяемые как пределы.

¶Свойства и вычисление

К основным свойствам определённого интеграла относятся: линейность, аддитивность по интервалу интегрирования, инвариантность относительно изменения переменной интегрирования, а также теоремы о среднем значении. Для вычисления интегралов применяются методы замены переменной (интегрирование по переменной), интегрирование по частям, разложение подынтегральной функции в ряд и специальные приёмы для рациональных, иррациональных, показательных и тригонометрических функций. Существуют таблицы основных интегралов, а для численного интегрирования разработаны формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона и Гаусса.

¶Применение

Интегралы используются практически во всех разделах математики и естествознания. В физике интегральное исчисление применяется для вычисления работы силы, центра масс, моментов инерции, потоков векторных полей; в теории вероятностей — для нахождения вероятностей непрерывных случайных величин; в теории дифференциальных уравнений — для решения уравнений с переменными коэффициентами. В технике интегральные преобразования (преобразование Лапласа, преобразование Фурье) лежат в основе анализа линейных систем, теории колебаний и обработки сигналов.

¶См. также

• Дифференциальное исчисление
• Первообразная функция
• Интегральное преобразование
• Математический анализ

¶Источники

• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.
• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа.
• Бурманский В. М. Интегральное исчисление.