Касательные напряжения при изгибе

Касательные напряжения при изгибе — это напряжения, возникающие в поперечных сечениях бруса (балки) при поперечном изгибе, когда наряду с изгибающим моментом действует поперечная сила. В отличие от нормальных напряжений, которые обусловлены действием изгибающего момента и распределяются по высоте сечения линейно, касательные напряжения вызываются сдвигом соседних слоёв материала друг относительно друга под действием поперечной силы. Их учёт является обязательным при расчёте балок на прочность по касательным напряжениям, особенно для коротких балок, балок из материалов с низким сопротивлением сдвигу (например, древесина вдоль волокон) и тонкостенных профилей.

История вопроса

Вопрос о распределении касательных напряжений при изгибе впервые был систематически рассмотрен в рамках классической теории упругости. Основополагающий вклад внёс русский инженер и учёный Дмитрий Иванович Журавский (1821—1891). В 1855 году, при проектировании и строительстве деревянных мостов на Петербургско-Московской железной дороге, Журавский столкнулся с необходимостью оценить прочность деревянных балок, работающих на поперечный изгиб. Он установил, что разрушение балок часто происходит не от нормальных напряжений, а от сдвига вдоль волокон. Для описания этого явления он вывел формулу, которая сегодня носит его имя (формула Журавского). Эта формула до сих пор является основным инструментом для расчёта касательных напряжений в балках прямоугольного, двутаврового и других поперечных сечений.

Физическая сущность явления

При поперечном изгибе на элемент балки действуют:

1. Изгибающий момент (M), который вызывает нормальные напряжения σ, растягивающие одни волокна и сжимающие другие.
2. Поперечная сила (Q), которая стремится сдвинуть одно поперечное сечение относительно другого.

Если рассмотреть бесконечно малый элемент, вырезанный из балки двумя соседними поперечными сечениями, то из-за разности изгибающих моментов нормальные напряжения на левой и правой гранях элемента будут различны. Для того чтобы этот элемент находился в равновесии, на его горизонтальных (продольных) площадках должны возникнуть касательные напряжения τ. По закону парности касательных напряжений, такие же по величине напряжения возникают и в поперечных сечениях балки. Именно эти напряжения, действующие в плоскости поперечного сечения, и называются касательными напряжениями при изгибе.

Формула Журавского

Основной расчётной формулой для определения касательных напряжений в произвольной точке поперечного сечения балки является формула Д. И. Журавского:

\[ \tau = \frac{Q \cdot S_x^*}{I_x \cdot b} \]

где:

• τ — касательное напряжение в рассматриваемой точке сечения (Па);
• Q — поперечная сила, действующая в данном поперечном сечении (Н);
• **S_x^*** — статический момент относительно нейтральной оси x части сечения, расположенной выше (или ниже) того уровня, на котором определяется напряжение (м³);
• I_x — осевой момент инерции всего поперечного сечения относительно нейтральной оси x (м⁴);
• b — ширина поперечного сечения на том уровне, где определяется напряжение (м).

Допущения формулы

Формула Журавского является приближённой и основана на следующих допущениях:

1. Касательные напряжения распределены равномерно по ширине сечения b.
2. Направление касательных напряжений параллельно поперечной силе Q.
3. Материал балки подчиняется закону Гука и является изотропным.

Эти допущения хорошо работают для узких прямоугольных сечений и большинства стандартных профилей (двутавры, швеллеры), но дают погрешность для очень широких сечений (например, широких полок двутавров).

Распределение касательных напряжений по высоте сечения

Закон распределения касательных напряжений по высоте сечения зависит от его формы.

Прямоугольное сечение

Для прямоугольного сечения шириной b и высотой h:

• Статический момент отсечённой части, находящейся на расстоянии y от нейтральной оси, равен: \( S_x^* = \frac{b}{2} \left( \frac{h^2}{4} - y^2 \right) \).
• Момент инерции: \( I_x = \frac{b h^3}{12} \).

Подставляя в формулу Журавского, получаем:

\[ \tau(y) = \frac{6Q}{b h^3} \left( \frac{h^2}{4} - y^2 \right) \]

Это уравнение параболы. Максимальное касательное напряжение достигается на нейтральной оси (при \( y = 0 \)):

\[ \tau_{max} = \frac{3Q}{2bh} = \frac{3Q}{2A} \]

где A — площадь поперечного сечения. На крайних верхних и нижних волокнах (при \( y = \pm h/2 \)) касательные напряжения равны нулю.

Двутавровое сечение

Для двутавра (стального профиля, широко используемого в строительстве) распределение напряжений более сложное:

• В стенке (вертикальной части) напряжения распределяются по параболическому закону, близкому к равномерному. Практически вся поперечная сила воспринимается стенкой.
• В полках (горизонтальных частях) напряжения малы и распределены неравномерно. В полках возникают также горизонтальные касательные напряжения, которые стремятся сдвинуть полку относительно стенки.

Максимальные касательные напряжения в двутавре также возникают на нейтральной оси. Приближённо их можно оценить как:

\[ \tau_{max} \approx \frac{Q}{A_{ст}} \]

где \( A_{ст} \) — площадь сечения стенки двутавра (высота стенки, умноженная на её толщину).

Круглое сечение

Для круга диаметром d максимальное касательное напряжение на нейтральной оси составляет:

\[ \tau_{max} = \frac{4Q}{3A} = \frac{16Q}{3\pi d^2} \]

Проверка прочности по касательным напряжениям

Условие прочности по касательным напряжениям записывается в виде:

\[ \tau_{max} \le [\tau] \]

где \( [\tau] \) — допускаемое касательное напряжение для материала. Для пластичных материалов (сталь) обычно принимают \( [\tau] \approx 0.5 \div 0.6 [\sigma] \), где \( [\sigma] \) — допускаемое нормальное напряжение. Для хрупких материалов (чугун) \( [\tau] \approx 0.8 \div 1.0 [\sigma] \).

Проверка по касательным напряжениям особенно важна в следующих случаях:

1. Короткие балки (отношение длины к высоте \( l/h < 5 \)), где поперечная сила велика, а изгибающий момент относительно мал.
2. Балки из материалов, слабо работающих на сдвиг (древесина вдоль волокон, клеёные конструкции, некоторые композиты).
3. Тонкостенные профили (двутавры, швеллеры), где стенка может потерять устойчивость или быть срезана.
4. Составные балки (например, сварные или клёпаные), где необходимо проверить прочность сварных швов или заклёпок, воспринимающих сдвигающие усилия.

Примеры расчёта

Пример 1: Деревянная балка прямоугольного сечения

Деревянная балка сечением 150×200 мм (b=150 мм, h=200 мм) нагружена поперечной силой Q=30 кН. Допускаемое касательное напряжение для сосны вдоль волокон составляет \( [\tau] = 1.5 \) МПа.

Площадь сечения: \( A = 0.15 \times 0.2 = 0.03 \) м². Максимальное касательное напряжение: \( \tau_{max} = \frac{3 \cdot 30000}{2 \cdot 0.03} = 1.5 \times 10^6 \) Па = 1.5 МПа.

Условие прочности: \( 1.5 \le 1.5 \) МПа — прочность обеспечена (на грани).

Пример 2: Стальная балка двутаврового сечения

Двутавр №20 (ГОСТ 8239-89) имеет высоту 200 мм, толщину стенки 5.2 мм. Поперечная сила Q=80 кН. Допускаемое касательное напряжение для стали Ст3 \( [\tau] = 100 \) МПа.

Площадь стенки: \( A_{ст} = 0.0052 \times 0.2 = 0.00104 \) м². Приближённое максимальное напряжение: \( \tau_{max} \approx \frac{80000}{0.00104} \approx 76.9 \times 10^6 \) Па = 76.9 МПа.

Условие прочности: \( 76.9 \le 100 \) МПа — прочность обеспечена.

Критика и ограничения теории

Классическая теория касательных напряжений при изгибе, основанная на формуле Журавского, имеет ряд ограничений:

1. Не учитывает деформацию сдвига. Формула выведена в предположении, что поперечные сечения остаются плоскими (гипотеза плоских сечений), что строго справедливо только для чистого изгиба. При поперечном изгибе сечения искривляются (депланируют), что приводит к перераспределению напряжений.
2. Неприменима для коротких и толстых балок. Для балок с отношением длины к высоте менее 2-3 теория Журавского даёт значительную погрешность. В таких случаях необходимо использовать более точные методы теории упругости (например, решение задачи о плоском напряжённом состоянии).
3. Не учитывает концентрацию напряжений. В местах резкого изменения формы сечения (например, в углах двутавра, у отверстий) возникают местные пики касательных напряжений, которые не описываются формулой.
4. Неприменима для анизотропных материалов. Для материалов с разными свойствами в разных направлениях (например, композиты, слоистая древесина) требуется более сложный анализ.

Литература

1. Феодосьев В. И. Сопротивление материалов. — М.: Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2016.
2. Тимошенко С. П. История науки о сопротивлении материалов. — М.: Гостехиздат, 1957.
3. Дарков А. В., Шпиро Г. С. Сопротивление материалов. — М.: Высшая школа, 1989.
4. Беляев Н. М. Сопротивление материалов. — М.: Наука, 1965.
5. ГОСТ 8239-89. Двутавры стальные горячекатаные. Сортамент.