Кратно — математическое отношение делимости¶

Кратно — отношение между числами, при котором одно число делится на другое без остатка. Если натуральное число a делится на натуральное число b без остатка, то говорят, что a кратно b, а b является делителем a. Символически это записывается как b | a («b делит a») или, что чаще встречается в школьном курсе, «a кратно b». Понятие кратности лежит в основе теории делимости, факторизации чисел и многих разделов элементарной математики.

¶Основные определения

Пусть a и b — натуральные числа. Говорят, что a кратно b, если существует натуральное число k, такое что a = b · k. Число k называется коэффициентом кратности. Например, 12 кратно 3, так как 12 = 3 · 4; коэффициент кратности равен 4.

Из определения следуют несколько непосредственных свойств:

• Любое натуральное число кратно единице: a = 1 · a.
• Любое число кратно само себе: a = a · 1.
• Если a кратно b, а b кратно c, то a кратно c (свойство транзитивности).
• Если a кратно b, то a кратно любому делителю b.

¶Кратность и делимость

Понятия «кратность» и «делимость» выражают один и тот же факт с разных сторон. Формулировка «a кратно b» и формулировка «b делит a» равносильны. В англоязычной математике используется термин divisibility (делимость), в русской школьной традиции чаще встречается «кратность».

Кратность тесно связана с понятием остатка от деления. Если при делении a на b остаток равен нулю, то a кратно b; если остаток отличен от нуля, кратности нет. Например, 17 не кратно 5, так как 17 = 5 · 3 + 2.

¶Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное

Для двух и более чисел важную роль играют два понятия, непосредственно связанные с кратностью.

Наибольший общий делитель (НОД) двух чисел — наибольшее число, на которое оба числа кратны. Например, НОД(12, 18) = 6, так как 6 — наибольший делитель, который делит и 12, и 18 без остатка. НОД вычисляется с помощью алгоритма Евклида.

Наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел — наименьшее натуральное число, которое кратно обоим числам. Например, НОК(4, 6) = 12, так как 12 — наименьшее число, кратное и 4, и 6. Связь между НОД и НОК выражается формулой:

НОД(a, b) · НОК(a, b) = a · b

Эта формула справедлива для любых двух натуральных чисел.

¶Кратность в теории чисел

В элементарной теории чисел кратность используется для описания структуры натуральных чисел.

¶Простые множители и каноническое разложение

Каждое натуральное число больше единицы можно представить в виде произведения степеней простых чисел. Такая запись называется каноническим (основным) разложением. Например:

720 = 2⁴ · 3² · 5

Здесь 720 кратно 2, 3 и 5; более того, оно кратно 2⁴ = 16, но не кратно 2⁵ = 32. Показатели степеней показывают, «во сколько раз» число кратно каждому простому множителю.

¶Степени числа

Число aⁿ кратно a для любого n ≥ 1. Более того, aⁿ кратно aᵐ при n ≥ m. Это свойство используется при упрощении дробей и вычислении НОК.

¶Кратность в дробях и пропорциях

Понятие кратности применяется при работе с дробями. Дроби приводят к общему знаменателю, находя НОК знаменателей — наименьшее число, кратное всем знаменателям. Например, чтобы сложить 1/4 и 1/6, находят НОК(4, 6) = 12 и преобразуют дроби: 1/4 = 3/12, 1/6 = 2/12.

Термин «кратное» встречается и в формулировке правила пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. В задачах на пропорциональность величины называют «прямо пропорциональными» и «обратно пропорциональными» — эти термины происходят от латинского proportio (соотношение) и описывают характер зависимости между величинами.

¶Кратность в алгебре

В алгебре понятие кратности распространяется на многочлены. Многочлен P(x) кратен многочлену Q(x), если существует многочлен R(x), такой что P(x) = Q(x) · R(x). Если P(x) кратен (x − a), то a является корнем многочлен P(x) (теорема Безу).

Понятие кратности корня: корень a многочлен P(x) имеет кратность k, если (x − a)ᵏ делит P(x), но (x − a)ᵏ⁺¹ не делит. Например, у многочлен (x − 2)³ = x³ − 6x² + 12x − 8 корень 2 имеет кратность 3.

¶Применение

Понятие кратности находит применение в различных областях:

• Криптография — алгоритмы, основанные на свойствах делимости и простых чисел (например, RSA).
• Комбинаторика — подсчёт числа способов при условиях кратности.
• Теория кодирования — построение кодов с определёнными свойствами делимости.
• Решение практических задач — распределение предметов на равные группы, нахождение общего цикла событий (задача о мостах, о кратных циклах).

¶Интересные факты

• Число 1 считается кратным любому натуральному числу, но само оно не имеет делителей, отличных от 1.
• Понятие кратности можно распространить на целые числа, многочлены, матрицы и другие алгебраические структуры — везде, где определено деление с остатком.
• В древнем Вавилоне и Египте свойства кратности использовались для упрощения арифметических вычис задолго до формального определения.

Источники:

• Кудрявцев Л. Д. «Курс математического анализа»
• Виноградов И. М. «Основы теории чисел»
• Новиков П. С. «Элементы математической логики»
• Школьный учебник алгебры и начала анализа (под ред. А. Г. Курчатова и др.)