Кратность — математическое понятие¶

Кратность — в математике показатель того, сколько раз одно число содержится в другом при делении, а также степень, в которой число является делителем другого числа, многочлена или нуля. Понятие кратности применяется в арифметике, теории чисел, алгебре и математическом анализе, причём в каждой из этих областей оно имеет несколько близких, но различных значений.

¶Кратность в арифметике

В элементарной арифметике под кратностью понимают отношение деления: говорят, что число a кратно числу b, если a делится на b без остатка, то есть существует целое число k такое, что a = b · k. Число b при этом называют делителем (или множителем) числа a, а число k — частным. Например, 12 кратно 3, так как 12 = 3 · 4.

Слово «кратно» употребляется и в значении «много раз»: например, «кратно увеличить» означает увеличить во столько-то раз. В школьной программе понятие кратности связано с таблицей умножения, чётными и нечётными числами, делимостью и признаками делимости.

¶Кратность в теории чисел

В теории чисел кратность имеет более точное значение. Пусть n — натуральное число, а p — простое число. Кратностью числа p по модулю n называется наибольшее целое число k такое, что p^k делит n. Обозначается это как v_p(n) = k или ord_p(n) = k. Например, 2^3 = 8 делит число 24, но 2^4 = 16 уже не делит его, поэтому кратность простого числа 2 в разложении 24 равна 3.

Основная теорема арифметики утверждает, что любое натуральное число более единицы можно представить в виде произведения простых множителей, причём такое представление единственно с точностью до порядка сомножителей:

n = p₁^α₁ · p₂^α₂ · … · p_r^α_r

Показатели степеней α₁, α₂, … в этом разложении и являются кратностями соответствующих простых делителей. Сумма всех кратностей v_p(n) называется вычетом (или показателем) делимости числа n на p.

Понятие кратности лежит в основе важных арифметических функций: функции делителей, функции Эйлера, а также кратности порядка элемента в группе.

¶Кратность корня многочлена

В алгебре кратность корня многочлена P(x) определяется следующим образом. Число a называют корнем многочлена кратности k, если (x − a)^k делит P(x), но (x − a)^(k+1) уже не делит его. Корни кратности 1 называют простыми, кратности 2 — двойными, кратности 3 — тройными и так далее.

Если многочлен степени n имеет все корни на комплексном поле (теорема о фундаментальном алгебраическом соотношении), то сумма кратностей всех корней равна n. Множество корней кратности k можно характеризовать аналитически: a — корень кратности k тогда и только тогда, когда P(a) = P′(a) = … = P^(k−1)(a) = 0, но P^(k)(a) ≠ 0.

Понятие кратности корня используется при разложении рациональных функций в ряд, при вычислении неопределённых интегралов методом разложения на простейшие дроби и в теории алгебраических уравнений.

¶Кратность нуля аналитической функции

В математическом анализе и комплексном анализе понятие кратности распространяется на нули аналитических функций. Если функция f(z) аналитична в окрестности точки a и f(z) = (z − a)^k · g(z), где g(a) ≠ 0, то говорят, что a — нуль функции f кратности k. Для аналитической функции кратность нуля совпадает с порядком первого ненулевого члена в её разложении в ряд Тейлора.

Кратность нуля тесно связана с принципами комплексного анализа: по теореме об интеграле Коши число нулей аналитической функции внутри контура (с учётом кратностей) выражается через интеграл от логарифмической производной.

¶Кратность в теории групп

В теории групп кратностью элемента g называют наименьшее положительное натуральное число n такое, что g^n = e, где e — нейтральный элемент группы. Если такого числа не существует, элемент называют бесконечного порядка. Например, кратность элемента в циклической группе Z_n по модулю n делит n, а кратность порождающего элемента равна n.

Понятие кратности элемента группы лежит в основе Lagrange-теоремы о порядке подгруппы, а также в определении экспоненты группы.

¶Применение

Понятие кратности находит применение в различных областях математики и смежных наук:

• в криптографии — при работе с модулярной арифметикой и разложением чисел;
• в теории кодирования — при анализе минимальных расстояний;
• в алгебраической геометрии — при изучении кратных точек пересечения кривых и поверхностей;
• в физике — при описании вырожденных состояний.

¶Интересные факты

Кратность простых множителей числа 100! (факториала от 100) по модулю 5 равна 24, что находит применение при определении числа конечных нулей в конце записи 100!.

Исторически понятие кратности восходит к работам Карла Фридриха Гаусса «Арифметические исследования» (1801), где были введены обозначения для показателя делимости.

Источники:

• Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа
• Винберг Э. Б. Курс алгебры
• Новиков И. К. Элементы математической логики
• Гаусс К. Ф. Арифметические исследования
• Зорич В. А. Математический анализ