Критерии оценивания задания 15 ЕГЭ по математике¶
Задание 15 ЕГЭ по математике (профильный уровень) — это развёрнутый ответ на задачу повышенной сложности, входящая в вторую часть экзаменационной работы. Задание проверяет умение решать нелинейные уравнения и неравенства, работать с параметром, выполнять логические рассуждения и доказательства. Максимальный балл за задание — 2 (в старом формате) или 3 балла (в формате 2024 года и позже, когда задания второй части были переработаны).
¶Структура задания
Задание 15 традиционно формулируется как задача на доказательство или на нахождение области значений функции. Типовые формулировки:
- «Решите неравенство» с параметром;
- «Найдите все значения параметра, при которых уравнение/неравенство имеет решение»;
- «Докажите, что при заданных условиях выполняется неравенство»;
- «Найдите область значений функции».
Задание относится к категории заданий с развёрнутым ответом, то есть баллы выставляются не за правильный итоговый ответ, а за пошаговое следование критериям.
¶Критерии оценивания
Экзаменационная работа проверяется экспертами вручную. Для задания 15 действует система критериев, утверждённая ФИПИ (Федеральный институт педагогических измерений). В зависимости от версии спецификации балльная шкала выглядит следующим образом.
¶Вариант с двумя баллами
| Критерий | Описание | Баллы |
|---|---|---|
| К1 | Правильное выполнение преобразований (решение уравнения/неравенства, работа с параметром) | 1 |
| К2 | Правильный итоговый ответ (область значений, множество значений параметра, доказанное неравенство) | 1 |
Максимум — 2 балла. Если решение содержит ошибку, но логика верна, может быть выставлен 1 балл по К1.
¶Вариант с тремя баллами (формат с 2024 года)
| Критерий | Описание | Баллы |
|---|---|---|
| К1 | Правильное выполнение преобразований | 1 |
| К2 | Правильный итоговый ответ | 1 |
| К3 | Полнота и обоснованность рассуждений (учёт всех случаев, корректность рассуждений при разделении на случаи) | 1 |
¶Типичные ошибки
При проверке задания 15 чаще всего фиксируются следующие ошибки:
- Неполный перебор случаев. При работе с параметром экзаменуемый разделяет задачу на случаи, но пропускает один или несколько (например, не учитывает отрицательные значения параметра или случай нулевого коэффициента).
- Потеря корней при возведении в квадрат. При извлечении корней или возведении обеих частей неравенства в квадрат не проверяется знак обеих частей.
- Игнорирование области допустимых значений. При умножении неравенства на выражение с параметром не учитывается, что знак множителя зависит от значения параметра.
- Отсутствие обоснования. Ответ записан, но рассуждения не приведены или приведены неполно.
¶Особенности подготовки
Для получения максимального балла за задание 15 традиционно рекомендуется отрабатывать следующие навыки:
- Метод интервалов для решения неравенств.
- Разделение на случаи при наличии параметра.
- Графическая интерпретация задач на параметр (построение семейства прямых, касание окружностей и т.д.).
- Использование свойств чётных и нечётных функций, монотонности.
- Умение сформулировать и записать доказательство в виде цепочки обоснованных преобразований.
¶Роль в общей структуре экзамена
Задание 15 является одним из двух заданий повышенной сложности наряду с заданием 16 (задача на счёт вероятностей и статистику повышенной сложности). Вместе они формируют верхнюю часть балльной шкалы: именно эти задания разделяют экзаменуемых, ориентированных на высокие баллы. По статистике ФИПИ, доля экзаменуемых, набирающих 2 балла из 2, составляет около 20–30% от общего числа сдававших.
Задание 15 традиционно вызывает наибольшие сложности при подготовке, поскольку требует не шаблонного применения формул, а полноценного математического рассуждения.
¶Источники
- Спецификация ЕГЭ по математике (профильный уровень), ФИПИ.
- Открытые банки заданий ЕГЭ, ФИПИ.
- Отчёты о результатах ЕГЭ по математике, ФИПИ.