Критерий Левене¶

Критерий Левене — это статистический тест, используемый для оценки равенства дисперсий двух или более выборок. Он является одной из разновидностей тестов на гомогенность дисперсий и применяется для проверки предположения о том, что дисперсии в сравниваемых группах не различаются статистически значимо. Критерий Левене менее чувствителен к отклонениям от нормальности распределения данных, чем классический тест Бартлетта, что делает его предпочтительным выбором при анализе данных, распределение которых может отличаться от нормального. Тест широко используется в дисперсионном анализе (ANOVA), регрессионном анализе и других областях статистики, где предположение о равенстве дисперсий является критическим.

¶История

Критерий был предложен американским статистиком Говардом Левене (Howard Levene) в 1960 году в статье «Robust Tests for Equality of Variances», опубликованной в сборнике «Contributions to Probability and Statistics: Essays in Honor of Harold Hotelling». Левене разработал этот тест как альтернативу более чувствительному к нормальности критерию Бартлетта, стремясь создать более устойчивый (робастный) метод проверки гомогенности дисперсий. Впоследствии, в 1974 году, Мортон Браун и Алан Форсайт предложили модификацию теста, известную как критерий Брауна-Форсайта, которая использует медианы вместо средних значений для повышения робастности. В современной статистической практике критерий Левене часто реализуется именно в этой модифицированной форме.

¶Основная идея и математическая формулировка

Критерий Левене проверяет нулевую гипотезу \( H_0 \) о том, что дисперсии всех сравниваемых групп равны, против альтернативной гипотезы \( H_1 \) о том, что хотя бы одна дисперсия отличается от остальных.

Тест основан на анализе абсолютных отклонений наблюдений от центральной тенденции своей группы. Вместо исходных данных \( X_{ij} \) (где \( i \) — номер группы, \( j \) — номер наблюдения в группе) вычисляются новые переменные:

\[ Z_{ij} = |X_{ij} — \tilde{X}_i| \]

где \( \tilde{X}_i \) — мера центральной тенденции для \( i \)-й группы. В классическом варианте Левене используется среднее арифметическое группы. В модификации Брауна-Форсайта используется медиана, что делает тест более устойчивым к выбросам и асимметрии распределения. Также возможен вариант с использованием усечённого среднего (10%-ное усечение).

После вычисления абсолютных отклонений \( Z_{ij} \) к ним применяется однофакторный дисперсионный анализ (ANOVA). Статистика критерия Левене \( W \) вычисляется по формуле:

\[ W = \frac{(N — k)}{(k — 1)} \cdot \frac{\sum_{i=1}^{k} n_i (\bar{Z}_{i.} — \bar{Z}_{..})^2}{\sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n_i} (Z_{ij} — \bar{Z}_{i.})^2} \]

где:

• \( k \) — количество сравниваемых групп,
• \( N \) — общее количество наблюдений,
• \( n_i \) — количество наблюдений в \( i \)-й группе,
• \( \bar{Z}_{i.} \) — среднее значение \( Z \) в \( i \)-й группе,
• \( \bar{Z}_{..} \) — общее среднее значение \( Z \) по всем группам.

Полученная статистика \( W \) аппроксимируется F-распределением Фишера с числами степеней свободы \( (k-1) \) и \( (N-k) \). Если наблюдаемое значение \( W \) превышает критическое значение F-распределения при заданном уровне значимости (обычно 0,05), нулевая гипотеза о равенстве дисперсий отвергается.

¶Виды и модификации

В зависимости от выбора меры центральной тенденции различают три основных варианта критерия Левене:

• Классический критерий Левене (Levene’s test, mean-based): Использует среднее арифметическое. Рекомендуется, когда данные имеют симметричное распределение, близкое к нормальному.
• Критерий Брауна-Форсайта (Brown-Forsythe test, median-based): Использует медиану. Наиболее робастный вариант, устойчивый к выбросам и асимметрии. Является стандартным выбором в большинстве статистических пакетов.
• Критерий на основе усечённого среднего (trimmed mean-based): Использует среднее, вычисленное после отбрасывания определённого процента (обычно 10–20%) крайних значений. Занимает промежуточное положение по робастности между двумя предыдущими вариантами.

¶Применение

Критерий Левене применяется в следующих ситуациях:

¶Проверка предположений для ANOVA

Однофакторный и многофакторный дисперсионный анализ (ANOVA) предполагают гомогенность дисперсий сравниваемых групп. Если критерий Левене показывает, что дисперсии значимо различаются, результаты ANOVA могут быть ненадёжными. В таких случаях применяют робастные альтернативы, например, критерий Уэлча (Welch’s ANOVA) или непараметрические тесты, такие как критерий Краскела-Уоллиса.

¶Проверка предположений для t-критерия

Двухвыборочный t-критерий Стьюдента для независимых выборок также требует равенства дисперсий. Критерий Левене используется для обоснования выбора между стандартным t-критерием (при равных дисперсиях) и его модификацией с поправкой Уэлча (при неравных дисперсиях).

¶Регрессионный анализ

В регрессионном анализе гомоскедастичность (постоянство дисперсии остатков) является одним из ключевых предположений. Критерий Левене может быть адаптирован для проверки гомоскедастичности, например, путём сравнения дисперсий остатков в группах, сформированных по значениям предиктора.

¶Медицинские и биологические исследования

В клинических испытаниях и биологических экспериментах часто сравниваются дисперсии показателей в контрольной и экспериментальной группах. Например, при изучении эффективности нового препарата критерий Левене может проверить, не увеличивает ли лечение вариабельность ответа у пациентов.

¶Технические и инженерные задачи

В контроле качества и технологических процессах критерий Левене используется для сравнения разброса параметров продукции при разных режимах производства или на разных станках.

¶Интерпретация результатов

Результат критерия Левене выражается в виде p-значения (p-value). Если p-значение больше выбранного уровня значимости (например, 0,05), то нет достаточных оснований отвергнуть нулевую гипотезу, и дисперсии считаются равными. Если p-значение меньше 0,05, нулевая гипотеза отвергается, что указывает на статистически значимое различие дисперсий.

Важно отметить, что критерий Левене, как и любой статистический тест, может давать ложноположительные результаты при больших объёмах выборок (даже незначительные различия дисперсий становятся статистически значимыми) и ложноотрицательные при малых выборках. Поэтому при интерпретации результатов рекомендуется учитывать практическую значимость различий и размер эффекта.

¶Ограничения и критика

• Чувствительность к объёму выборки: При очень больших выборках критерий может обнаруживать статистически значимые, но практически незначимые различия дисперсий.
• Зависимость от выбора меры центральной тенденции: Неправильный выбор (например, использование среднего при сильной асимметрии) может снизить мощность теста или привести к ошибочным выводам.
• Необходимость независимости наблюдений: Критерий предполагает, что наблюдения внутри групп и между группами независимы. Нарушение этого предположения (например, в повторных измерениях) делает тест неприменимым без специальных модификаций.
• Альтернативы: Существуют и другие тесты на гомогенность дисперсий, такие как критерий Бартлетта (более мощный, но чувствительный к нормальности), критерий Флигнера-Килина (непараметрический) и тест отношения дисперсий (для двух выборок). Выбор конкретного теста зависит от свойств данных и целей анализа.

¶Реализация в статистических пакетах

Критерий Левене реализован во всех основных статистических пакетах:

• SPSS: Включается в процедуру однофакторного ANOVA (опция «Homogeneity of variance test»).
• R: Функция leveneTest() из пакета car.
• Python: Функция levene() из модуля scipy.stats.
• Stata: Команда robvar.
• SAS: Процедура GLM с опцией HOVTEST=LEVENE.

Во всех реализациях по умолчанию обычно используется модификация Брауна-Форсайта (на основе медианы).

¶Источники

• Levene, H. (1960). Robust Tests for Equality of Variances. In: Contributions to Probability and Statistics: Essays in Honor of Harold Hotelling. Stanford University Press.
• Brown, M. B., & Forsythe, A. B. (1974). Robust Tests for the Equality of Variances. Journal of the American Statistical Association, 69(346), 364–367.
• Neter, J., Kutner, M. H., Nachtsheim, C. J., & Wasserman, W. (1996). Applied Linear Statistical Models (4th ed.). Irwin.
• Field, A. (2013). Discovering Statistics Using IBM SPSS Statistics (4th ed.). SAGE Publications.