Критерий Рауса — Гурвица

Критерий Рауса — Гурвица — это математический критерий, используемый в теории автоматического управления и теории устойчивости динамических систем для определения, все ли корни характеристического полинома системы имеют отрицательные вещественные части. Выполнение этого условия (так называемая строгая устойчивость) означает, что система является асимптотически устойчивой, то есть её реакция на внешнее воздействие затухает со временем. Критерий позволяет оценить устойчивость, не вычисляя сами корни полинома, а лишь анализируя его коэффициенты. Существует в двух эквивалентных формах: алгебраической (критерий Гурвица) и табличной (критерий Рауса).

История

Критерий назван в честь двух математиков, независимо друг от друга разработавших его основы. В 1875 году английский математик Эдвард Джон Раус (Edward John Routh) опубликовал метод, позволяющий определить количество корней полинома с положительной вещественной частью, используя специальную таблицу. Его работа была связана с исследованием устойчивости регулятора Уатта. Позднее, в 1895 году, немецкий математик Адольф Гурвиц (Adolf Hurwitz) предложил алгебраический критерий, основанный на вычислении определителей матрицы, составленной из коэффициентов полинома. Гурвиц занимался этой задачей по просьбе инженера-электрика Ауреля Стодолы, который изучал устойчивость гидравлических турбин. Оба подхода математически эквивалентны, и в современной литературе их часто объединяют под общим названием «критерий Рауса — Гурвица».

Математическая формулировка

Пусть задан характеристический полином степени \( n \) с действительными коэффициентами:

\[ D(s) = a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \dots + a_1 s + a_0, \quad a_n > 0 \]

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все корни этого полинома имели отрицательные вещественные части. Критерий Рауса — Гурвица устанавливает условия на коэффициенты \( a_i \), при которых это выполняется.

Критерий Гурвица (алгебраическая форма)

Составляется квадратная матрица Гурвица размером \( n \times n \). Элементы матрицы заполняются коэффициентами полинома по следующему правилу:

• По главной диагонали выписываются коэффициенты от \( a_{n-1} \) до \( a_0 \).
• В каждом столбце выше диагонали записываются коэффициенты с возрастающими индексами, а ниже — с убывающими. Недостающие элементы (с индексами меньше 0 или больше \( n \)) заменяются нулями.

Пример для \( n = 4 \):

\[ H = \begin{pmatrix} a_3 & a_1 & 0 & 0 \\ a_4 & a_2 & a_0 & 0 \\ 0 & a_3 & a_1 & 0 \\ 0 & a_4 & a_2 & a_0 \end{pmatrix} \]

Формулировка критерия Гурвица: Для того чтобы все корни полинома имели отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры матрицы Гурвица (определители Гурвица) \( \Delta_1, \Delta_2, \dots, \Delta_n \) были положительны. При этом \( \Delta_1 = a_{n-1} \), \( \Delta_n = a_0 \cdot \Delta_{n-1} \).

Критерий Рауса (табличная форма)

Строится таблица Рауса, состоящая из строк. Первые две строки заполняются коэффициентами полинома:

• Строка 1: \( a_n, a_{n-2}, a_{n-4}, \dots \)
• Строка 2: \( a_{n-1}, a_{n-3}, a_{n-5}, \dots \)

Последующие строки вычисляются по рекуррентной формуле:

\[ r_{i,j} = r_{i-2, j+1} - \frac{r_{i-2, 1}}{r_{i-1, 1}} \cdot r_{i-1, j+1} \]

где \( i \) — номер строки (начиная с 3), \( j \) — номер столбца (начиная с 1). Процесс продолжается, пока не будет получена строка, содержащая только один ненулевой элемент.

Формулировка критерия Рауса: Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все элементы первого столбца таблицы Рауса были положительны. Если в первом столбце есть отрицательные элементы, то система неустойчива, а количество перемен знака в этом столбце равно числу корней с положительной вещественной частью.

Особые случаи

При применении критерия могут возникнуть два особых случая, требующих дополнительной обработки:

1. Нулевой элемент в первом столбце, но не вся строка нулевая. В этом случае дальнейшее вычисление таблицы невозможно из-за деления на ноль. Для преодоления ситуации используют метод замены малого числа \( \varepsilon \) (эпсилон), которое затем устремляют к нулю, анализируя знаки элементов. Альтернативно, можно умножить исходный полином на множитель \( (s+1) \), что не меняет устойчивости, но сдвигает коэффициенты.
2. Целая строка таблицы состоит из нулей. Это указывает на наличие корней, расположенных симметрично относительно мнимой оси (например, чисто мнимые корни или пары противоположных по знаку вещественных корней). В этом случае строится вспомогательный полином из коэффициентов предыдущей строки, его производная используется для замены нулевой строки, и вычисления продолжаются.

Применение

Критерий Рауса — Гурвица широко применяется в инженерной практике, особенно в следующих областях:

• Проектирование систем автоматического управления: оценка устойчивости замкнутых систем, определение допустимых диапазонов параметров регуляторов (например, коэффициентов усиления ПИД-регулятора).
• Электротехника и электроника: анализ устойчивости усилителей с обратной связью, фильтров, генераторов.
• Авиация и космонавтика: исследование динамики полёта летательных аппаратов, устойчивости ракет-носителей.
• Механика: анализ колебаний механических систем, устойчивости вращающихся валов.

Достоинства и недостатки

Достоинства:

• Не требует вычисления корней полинома, что особенно важно для полиномов высокой степени.
• Позволяет не только констатировать устойчивость, но и определить количество неустойчивых корней.
• Удобен для параметрического анализа — можно выразить условия устойчивости в виде неравенств на параметры системы.

Недостатки:

• Применим только к системам с постоянными параметрами (линейным стационарным системам).
• Не даёт информации о запасах устойчивости (насколько далеко система от границы устойчивости).
• Для полиномов очень высокой степени (более 10–15) таблица Рауса становится громоздкой, хотя и вычислительно простой.

Связь с другими критериями

Критерий Рауса — Гурвица является одним из классических алгебраических критериев устойчивости. К другим распространённым критериям относятся:

• Критерий Михайлова: частотный критерий, основанный на построении годографа характеристического полинома.
• Критерий Найквиста: частотный критерий, позволяющий судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой характеристике разомкнутой системы.
• Критерий Льенара — Шипара: упрощённая форма критерия Гурвица, требующая проверки только половины определителей.

Пример применения

Рассмотрим характеристический полином третьего порядка:

\[ D(s) = s^3 + 2s^2 + 3s + 4 \]

По критерию Гурвица: Матрица Гурвица: \[ H = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 4 \end{pmatrix} \] Миноры:

• \( \Delta_1 = 2 > 0 \)
• \( \Delta_2 = \det\begin{pmatrix}2 & 4 \\ 1 & 3\end{pmatrix} = 6 - 4 = 2 > 0 \)
• \( \Delta_3 = \det(H) = 4 \cdot \Delta_2 = 8 > 0 \)

Все миноры положительны — система устойчива.

По критерию Рауса: Таблица Рауса:

Первый столбец: 1, 2, 1, 4 — все положительны, что подтверждает устойчивость.

Источники

1. Гурвиц А. «Об условиях, при которых уравнение имеет только корни с отрицательными вещественными частями» (1895).
2. Раус Э. Дж. «Трактат об устойчивости движения» (1877).
3. Бесекерский В. А., Попов Е. П. «Теория систем автоматического регулирования» (1975).
4. Дорф Р., Бишоп Р. «Современные системы управления» (2002).
5. Ким Д. П. «Теория автоматического управления. Том 1. Линейные системы» (2003).