Критерий Сэвиджа

Критерий Сэвиджа (также известный как критерий минимаксного сожаления) — это один из критериев принятия решений в условиях неопределённости, используемый в теории игр и исследовании операций. Он ориентирован на минимизацию максимально возможного сожаления (потерь) от выбранного решения, то есть на то, чтобы в худшем случае не допустить слишком большого отклонения от наилучшего возможного результата. Критерий был предложен американским статистиком Леонардом Сэвиджем в 1951 году.

История возникновения

Критерий Сэвиджа был разработан в рамках развития теории статистических решений. В 1951 году Леонард Сэвидж опубликовал работу «The Foundations of Statistics», в которой заложил основы субъективной вероятности и предложил альтернативу классическому минимаксному критерию Вальда. В отличие от критерия Вальда, который фокусируется на гарантированном минимуме выигрыша, критерий Сэвиджа учитывает не только абсолютные значения результатов, но и их относительную привлекательность по сравнению с наилучшим возможным вариантом в каждом состоянии природы.

Сущность критерия

Критерий Сэвиджа основан на понятии «сожаления» (или «риска»). Под сожалением понимается разница между максимально возможным выигрышем при данном состоянии природы и фактическим выигрышем от выбранной альтернативы. Математически сожаление для альтернативы \(a_i\) в состоянии \(s_j\) вычисляется как:

\[ r_{ij} = \max_{k} (x_{kj}) - x_{ij} \]

где:

• \(x_{ij}\) — выигрыш (или полезность) от альтернативы \(a_i\) при состоянии \(s_j\);
• \(\max_{k} (x_{kj})\) — максимальный выигрыш среди всех альтернатив при данном состоянии \(s_j\).

После построения матрицы сожалений (матрицы рисков) для каждой альтернативы определяется максимальное сожаление:

\[ R_i = \max_{j} (r_{ij}) \]

Оптимальной считается альтернатива, для которой это максимальное сожаление минимально:

\[ a^* = \arg\min_{i} (R_i) \]

Применение в теории принятия решений

Критерий Сэвиджа применяется в ситуациях, когда лицо, принимающее решение, не может оценить вероятности наступления различных состояний природы (условий внешней среды). Он относится к группе так называемых «пессимистических» критериев, но его пессимизм проявляется не в оценке абсолютных результатов, а в оценке упущенной выгоды.

Отличие от критерия Вальда

Критерий Вальда (максимин) выбирает альтернативу, гарантирующую наилучший из наихудших возможных результатов. Критерий Сэвиджа выбирает альтернативу, которая минимизирует максимальное сожаление, то есть не позволяет упустить слишком большую выгоду по сравнению с наилучшим вариантом. В некоторых ситуациях эти критерии могут приводить к разным решениям.

Пример расчёта

Рассмотрим задачу выбора стратегии инвестирования. Предположим, есть три альтернативы: вложение в акции (A1), облигации (A2) и депозит (A3). Возможные состояния экономики: рост (S1), стагнация (S2) и спад (S3). Матрица доходностей (в процентах годовых):

Шаг 1: Определяем максимальный доход при каждом состоянии:

• S1: max(20, 10, 6) = 20
• S2: max(5, 8, 6) = 8
• S3: max(-10, 2, 6) = 6

Шаг 2: Строим матрицу сожалений (вычитаем каждый элемент из максимума в столбце):

Шаг 3: Находим максимальное сожаление для каждой альтернативы:

• A1: max(0, 3, 16) = 16
• A2: max(10, 0, 4) = 10
• A3: max(14, 2, 0) = 14

Шаг 4: Выбираем альтернативу с минимальным максимальным сожалением: min(16, 10, 14) = 10. Оптимальной по критерию Сэвиджа является альтернатива A2 (облигации).

Достоинства и недостатки

Достоинства

• Учёт упущенной выгоды: критерий позволяет избежать ситуаций, когда выбранное решение оказывается значительно хуже наилучшего возможного в каждом состоянии.
• Интуитивная понятность: концепция «сожаления» легко интерпретируется как сожаление о том, что не был выбран лучший вариант.
• Применимость без вероятностей: не требует знания распределения вероятностей состояний природы.

Недостатки

• Чувствительность к масштабу: критерий зависит от абсолютных значений выигрышей, что может приводить к неоправданным решениям при наличии экстремальных значений.
• Игнорирование вероятностей: в реальных задачах часто доступны хотя бы приблизительные оценки вероятностей, которые критерий не использует.
• Парадокс Сэвиджа: в некоторых случаях критерий может рекомендовать решение, которое не является оптимальным с точки зрения других разумных критериев (например, при наличии доминирующих альтернатив).

Критика и ограничения

Критерий Сэвиджа подвергался критике за то, что он не удовлетворяет аксиоме независимости от посторонних альтернатив. Это означает, что добавление или удаление заведомо худших вариантов может изменить выбор оптимальной альтернативы, что противоречит интуитивным представлениям о рациональности. Кроме того, критерий предполагает, что лицо, принимающее решение, оценивает результаты исключительно в терминах сожаления, а не абсолютной полезности, что не всегда соответствует реальному поведению.

Применение на практике

Критерий Сэвиджа находит применение в различных областях, где требуется принятие решений в условиях неопределённости:

• Финансовый менеджмент: выбор инвестиционных портфелей, оценка рисков.
• Логистика и управление запасами: определение оптимального уровня запасов при неопределённом спросе.
• Промышленное производство: выбор технологических процессов при нестабильных ценах на сырьё.
• Государственное управление: оценка альтернатив при разработке экономической политики.

Связь с другими критериями

Критерий Сэвиджа является частью семейства критериев принятия решений в условиях неопределённости, наряду с критериями Вальда, Гурвица, Лапласа и другими. В отличие от критерия Гурвица, который использует коэффициент оптимизма-пессимизма, критерий Сэвиджа не требует задания субъективных весов. В отличие от критерия Лапласа, он не предполагает равной вероятности всех состояний.

Источники

1. Savage L. J. The Foundations of Statistics. — John Wiley & Sons, 1954.
2. Черчмен У., Акоф Р., Арноф Л. Введение в исследование операций. — М.: Наука, 1968.
3. Ларичев О. И. Теория и методы принятия решений. — М.: Логос, 2000.
4. Кини Р. Л., Райфа Х. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения. — М.: Радио и связь, 1981.