Куб — геометрическое тело и способы его изображения¶
Куб — это правильный многогранник, состоящий из шести квадратных граней, двенадцати рёбер и восьми вершин, при этом все рёбра равны по длине, а соседние грани перпендикулярны друг другу. В трёхмерном пространстве куб является одним из пяти платоновых тел и одним из шести параллелепипедов. В изобразительном искусстве и черчении куб выступает базовой фигурой для построения объёмных форм, а умение изобразить его корректно считается основой академического рисунка.
¶Геометрические свойства
Куб относится к правильным многогранникам: его грани — одинаковые квадраты, а при вершине сходятся три грани. Основные характеристики при длине ребра $a$:
| Параметр | Формула |
|---|---|
| Площадь поверхности | $6a^2$ |
| Объём | $a^3$ |
| Длина диагонали грани | $a\sqrt{2}$ |
| Длина пространственной диагонали | $a\sqrt{3}$ |
Куб обладает высокой симметрией: его группа симметрии включает 48 элементов (включая повороты и отражения). Он допускает 13 различных развёрток — плоских фигур, из которых можно сложить объёмное тело.
¶Способы изображения куба на плоскости
¶Прямая изометрия
Наиболее распространённый способ показать объём куба на плоскости — изометрическая проекция. При этом три измерения пространства отображаются так, что все три оси видны под одинаковыми углами (120° друг к другу), а масштаб по каждой из них одинаков. В результате куб выглядит как шестиугольник с тремя линиями, сходящимися в центре. Такой вид удобен для схем и технической графики.
¶Перспектива
В изобразительном искусстве чаще используется перспективное изображение. При одноточечной перспективе передняя грань куба остаётся квадратом, а параллельные ей линии сходятся в одной точке на горизонте. При двухточечной перспективе куб повёрнут так, что видны две его грани, а линии каждой параллельной группы сходятся к своей точке схода. Трёхточечная перспектива используется реже — при изображении куба снизу или сверху.
¶Каркасное изображение
Куб можно показать «насквозь», изобразив все двенадцать рёбер. Такое каркасное построение применяется в начертательной геометрии и помогает увидеть скрытые грани и рёбра.
¶Пошаговое построение куба в перспективе
Классический учебный приём построения куба в двухточечной перспективе выглядит следующим образом:
- Проводится линия горизонта и выбираются две точки схода на ней.
- Ставится вертикальное ребро куба — отрезок произвольной длины.
- От концов отрезка проводятся линии к обеим точкам схода.
- Определяется ближайшая вертикальная грань: выбираются точки на этих линиях так, чтобы полученный четырёхугольник визуально соответствовал пропорциям куба.
- От полученных точек снова проводятся линии к точкам схода — так строится задняя грань.
- Соединяются видимые вершины задней грани с передней.
При построении в изометрии порядок проще: сначала рисуется верхняя грань в виде ромба (углы 60° и 120°), затем из трёх его нижних вершин опускаются вертикали равной длины, и нижние концы соединяются.
¶Роль куба в обучении рисунку
Куб традиционно входит в число первых геометрических тел, которые студенты художественных вузов учатся изображать. Он служит моделью для освоения законов перспективы, светотени и пропорций. Из куба «вырастают» более сложные формы: построение кирпича, книги, здания или мебели сводится к модификации кубических пропорций. В академическом рисунке куб изучается вместе с шаром, конусом, цилиндром и призмой как часть курса «Геометрические тела».
¶Применение
Куб как форма активно используется в архитектуре и дизайне — от модернистских зданий до предметов интерьера. В компьютерной графике куб является стандартным примитивом, из которого собираются более сложные модели; он же служит базовой ячейкой воксельных миров. В математике куб — пример тела, для которого формулы площади и объёма выводятся элементарно, поэтому он входит в школьный курс геометрии.
Источники:
- «Начертательная геометрия», учебник для вузов
- «Академический рисунок», учебное пособие
- Энциклопедический словарь: Геометрия
- «Основы изобразительной геометрии», М.: Высшая школа