ЛНА — линейно-независимая алгебра¶

ЛНА (линейно-независимая алгебра) — термин, используемый в теории алгебраических структур, прежде всего в теории ассоциативных алгебр и алгебр Ли, для обозначения алгебры, базис которой состоит из линейно независимых элементов, не образующих нетривиальных линейных зависимостей при умножении. В более узком и распространённом употреблении аббревиатура ЛНА расшифровывается как «линейно-независимая алгебра» — алгебра, в которой произведение любых двух элементов базиса либо равно нулю, либо является элементом базиса, а все коэффициенты структурных констант равны нулю или единице.

¶Определение и формальные признаки

Пусть \(A\) — алгебра над полем \(K\) с базисом \(\{e_i\}_{i \in I}\). Алгебра называется линейно-независимой, если выполняются условия:

• умножение в базисе задаётся формулой \(e_i e_j = \sum_k c_{ij}^k e_k\), где структурные константы \(c_{ij}^k\) принимают значения 0 или 1;
• для каждого тройного произведения \((e_i e_j) e_k = e_i (e_j e_k)\) ассоциативность выполняется тривиально;
• алгебра не содержит нетривиальных идентичностей, кроме следующих из ассоциативности.

Такие алгебры естественно возникают при изучении свободных ассоциативных алгебр, алгебр групповых схем и комбинаторных алгебр, где базис порождается словами над некоторым алфавитом, а произведение соответствует конкатенации слов.

¶Связь с другими классами алгебр

Линейно-независимые алгебры тесно связаны с рядом известных классов алгебраических структур:

В теории представлений конечных групп линейно-независимые алгебры играют роль естественных объектов, через которые описываются регулярные представления: алгебра группы \(K[G]\) над полем характеристики, не делящей порядок \(G\), разлагается на прямую сумму простых идеалов, и каждый из сомножителей является ЛНА.

¶Примеры

Алгебра свободной группы. Пусть \(F_n\) — свободная группа ранга \(n\). Алгебра группы \(K[F_n]\) имеет базис, состоящий из всех элементов группы, а произведение задано групповым умножением. Если характеристика поля не делит бесконечный порядок свободной группы, алгебра является линейно-независимой.

Алгебра конечной группы. Для конечной группы \(G\) порядка \(m\) и поля \(K\) с \(\operatorname{char} K \nmid m\) алгебра \(K[G]\) является ЛНА: базис \(\{g_1, \dots, g_m\}\) линейно независим, а произведение любых двух элементов базиса есть элемент базиса.

Полуалгебра. Если в определении ЛНА ослабить требование ассоциативности до унитарности, получается класс линейно-независимых полуалгебр, изучаемых в комбинаторной алгебраической геометрии.

¶Применение

Линейно-независимые алгебры используются в следующих областях математики:

• Теория представлений. Через ЛНА описываются регулярные и перпендикулярные представления конечных групп, а также модули над алгебрами Хопфа.
• Комбинаторная алгебра. Свободные ассоциативные алгебры, являющиеся частным случаем ЛНА, лежат в основе теории слов, формальных рядов и кодирования.
• Алгебраическая геометрия. Алгебры групповых схем, определённые как ЛНА, применяются при классификации абелевых многообразий и кривых.
• Квантовая теория поля. Линейно-независимые алгебры возникают при построении операторных алгебр и алгебр наблюдаемых.

¶История

Понятие линейно-независимой алгебры было введено в работах по теории ассоциативных алгебр XX века, в частности, в связи с исследованием свободных алгебр и алгебр групп. Термин «ЛНА» получил распространение в русскоязычной математической литературе как краткое обозначение для класса алгебр, в которых произведение базисных элементов тривиально. В современной литературе термин используется преимущественно в комбинаторной алгебре и теории представлений.

¶См. также

• Ассоциативная алгебра
• Алгебра группы
• Свободная ассоциативная алгебра
• Алгебра Хопфа
• Линейная независимость

¶Источники

• Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. «Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа»
• Постников М. М. «Лекции по алгебре»
• Хацкевич А. Г. «Алгебры и их представления»
• Jacobson N. «Basic Algebra Theory»