Манифольд — многомерное многообразие¶
Манифольд (от англ. manifold — множество, многообразие; в русскоязычной математической традиции также «многообразие») — это множество, на котором задана дополнительная топологическая или дифференцируемая структура, позволяющая локально отождествлять его с обычным евклидовым пространством. Манифольды являются фундаментальным понятием топологии, дифференциальной геометрии и математической физики и служат математическим языком для описания пространств, форм и систем произвольной природы.
¶Определение и интуиция
Точное определение зависит от контекста. В топологии манифольдом размерности n называют локально компактное хаусдорфово пространство, в котором каждая точка имеет окрестность, гомеоморфную открытому множеству евклидова пространства ℝⁿ. Такая окрестность называется картой, а семейство карт, покрывающее всё множество, — атласом. Переходные функции между перекрывающимися картами при этом — гомеоморфизмы.
Если переходные функции гладкие (обычно класса C∞), то атлас называют дифференцируемым, а соответствующее множество — гладким (дифференцируемым) манифольдом. Более строгие варианты определения используют понятие группы Ли или схемы в алгебраической геометрии.
Интуитивно манифольд — это «изогнутое пространство», которое в малых масштабах выглядит плоским. Поверхность Земли — пример двумерного манифольда: локально она неотличима от плоскости, хотя глобально имеет сложную форму.
¶Классификация
Манифольды различают по нескольким признакам:
- По размерности: одномерные (кривые), двумерные (поверхности), трёхмерные, n-мерные и т. д.
- По типу структуры: топологические, дифференцируемые, комплексные, симплектические, римановы манифольды.
- По топологическим свойствам: замкнутые (компактные без границы) и со границей; связные и несвязные; ориентируемые и неориентируемые.
- По фундаментальной группе: пространственные (простые, фундаментальная группа тривиальна) и не пространственные.
Двумерные замкнутые ориентируемые манифольды полностью классифицированы: они определяются одним числом — родом g (числом «ручек»). Сфера имеет род 0, тор — род 1, поверхность двойного тора — род 2 и так далее. Трёхмерные манифольды классифицированы значительно сложнее; важный результат в этой области — теорема Перельмана (2003) о гипотезе Пуанкаре, утверждающая, что единственный трёхмерный замкнутый пространственный манифольд — это трёхмерная сфера S³.
¶Основные примеры
| Манифольд | Размерность | Описание |
|---|---|---|
| Прямая ℝ¹ | 1 | Одномерное евклидово пространство |
| Сфера Sⁿ | n | Поверхность (n+1)-мерного шара |
| Тор T² | 2 | Произведение двух окружностей S¹ × S¹ |
| Проективное пространство ℝPⁿ | n | Прямые через начало координат в ℝⁿ⁺¹ |
| Комплексная проективная пространность ℂPⁿ | 2n (вещественная размерность) | Основа алгебраической геометрии |
| Группа Ли (например, SO(3)) | зависит от группы | Манифольд со структурой группы |
¶Римановы манифольды
Наиболее важным для физики и геометрии классом являются римановы манифольды — гладкие манифольды, на которых в каждой касательной плоскости задана положительно определённая квадратичная форма (метрика). Метрика позволяет измерять длины кривых, углы между направлениями, площади и объёмы, определять понятие расстояния, параллельного переноса, кривизны.
Классические примеры римановых манифольдов: евклидово пространство с обычной метрикой, сфера с метрикой, унаследованной от окружающего пространства, а также пространство-время в общей теории относительности (псевдориманов манифольд Лоренца с сигнатурой (−,+,+,+)).
¶Манифольды в математической физике
Общей теории относительности (ОТО) Альберта Эйнштейна манифольды служат основой: гравитация в ОТО — это геометрия четырёхмерного псевдориманова многообразия, на котором расположена материя и энергия. Уравнения Эйнштейна описывают связь между кривизной манифольда и распределением энергии-импульса.
В квантовой теории поля и теории струн манифольды высокой размерности (например, шестимерные калиби-Яу многообразия) используются для компактификации дополнительных измерений. В теории узлов и в топологической квантовой теории поля манифольды выступают как «сцена», на которой определяются инварианты.
¶Манифольды в других областях
Понятие манифольда выходит далеко за рамки чистой математики. В статистике и анализе данных «манифольдное предположение» утверждает, что высокомерные наблюдаемые данные на практике часто лежат на многообразии существенно меньшей размерности; на этом основаны методы снижения размерности (PCA, t-SNE, UMAP, автоэнкодеры).
В механике пространство состояний (фазовое пространство) динамической системы является манифольдом, размерность которого равна удвоенному числу степеней свободы. В робототехнике конфигурационные пространства манипуляторов — это манифольды, часто с нетривиальной топологией (например, SO(3) для ориентации звена).
В химии и физике конденсированного состояния понятие манифольда используется для описания множества квантовых состояний с близкой энергией (спин-орбитальный манифольд, манифольд возбуждённых состояний молекулы).
¶История
Понятие манифольда сформировалось в работах Бернхарда Римана (1854), заложившего основы римановой геометрии в лекции «О гипотезах, лежащих в основании геометрии». В XX веке понятие было строго формализовано в топологии и дифференциальной геометрии усилиями Хаусдорфа, Александрова, Уитни, де Рама, Штейнмеца, Хопфа, Тома и других математиков. В СССР крупный вклад в теорию манифольдов внесли П. С. Александров, Л. С. Понтрягин, С. П. Новиков, В. Ф. Лазар.
¶Источники
- Арнольд В. И., Козлов В. В., Тищинский А. И. «Динамические системы I»
- Милнор Дж. «Топология с точки зрения дифференциальной геометрии»
- Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. «Современная геометрия. Методы и приложения»
- Хопф Х. «Дифференциальная геометрия»
- Эйнштейн А. «Общая теория относительности» (основные статьи 1915–1916 гг.)