Матрица: определение и основные значения¶

Матрица — многозначный термин, используемый в математике, информатике, биологии и культуре. В математике матрица — это прямоугольная таблица чисел или символов, служащая основным инструментом линейной алгебры. В информатике и смежных областях термин обозначает структуры данных, среды исполнения и абстрактные концепции. В массовой культуре «Матрица» — название научно-фантастической франшизы братьев Вачовски.

¶Математическая матрица

Математическая матрица — это прямоугольная массив чисел, символов или выражений, расположенных в m строках и n столбцах. Матрица размера m×n записывается как $A = (a_{ij})$, где $a_{ij}$ — элемент, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца. Матрицы с одинаковым числом строк и столбцов называются квадратными.

Основные операции над матрицами:

• Сложение — выполняется попарно для матриц одинакового размера.
• Умножение — определено для матриц, где число столбцов первой равно числу строк второй; результат содержит суммы произведений элементов.
• Транспонирование — операция, при которой строки матрицы становятся столбцами и наоборот.
• Вычисление определителя — скалярная величина, определённая только для квадратных матриц, связанная с решением систем линейных уравнений.
• Нахождение обратной матрицы — матрица $A^{-1}$, произведение которой на исходную даёт единичную матрицу; существует только для невырожденных квадратных матриц.

Матрицы применяются для записи и решения систем линейных уравнений, в линейном преобразовании координат, в теории графов (матрица смежности), в квантовой механике (матрицы операторов), в компьютерной графике (матрицы преобразований) и в статистике (матрица ковариаций). Понятие матрицы ввёл в 1850-х годах британский математик Артур Кэли, хотя числовые таблицы использовались и ранее.

¶Матрица в информатике

В информатике термин «матрица» применяется к нескольким связанным понятиям.

Матричные данные — двумерный массив данных, например пиксельное изображение, таблица или биоматрица. В языках программирования матрица реализуется как массив массивов или через специализированные библиотеки (NumPy в Python, Eigen в C++).

Матричные вычисления — класс алгоритмов, ориентированных на массовое параллельное умножение матриц. Этот тип вычислений лежит в основе обучения нейронных сетей и выполняется на графических процессорах (GPU) и тензорных процессорах. Компания NVIDIA сделала матричные операции центральным сценарием для своих GPU.

Матричный метод — в теории автоматов и формальных языков приём анализа контекстно-свободных грамматик, основанный на построении матриц зависимостей символов.

Матрица (виртуальная машина) — устойчивое разговорное обозначение изолированной среды исполнения, эмулирующей аппаратное окружение для запуска программ.

¶Матрица в биологии

В биологии термин «матрица» имеет несколько значений:

• Экстрацеллюлярный матрикс — внеклеточное вещество (коллаген, протеогликаны, гликопротеины), окружающее клетки и обеспечивающее механическую поддержку тканей.
• Матрица митохондрий — жидкая внутренняя среда митохондрий, в которой протекает цикл Кребса.
• Матрица (биоматрица) — носитель генетической информации вируса, бактериофага или митохондрий.

¶Матрица в культуре

¶Фильм «Матрица»

«Матрица» (The Matrix) — научно-фантастический фильм 1999 года режиссёров Ланы и Лилли Вачовски с Киану Ривзом в главной роли. Сюжет: будущее, в котором искусственный интеллект поработило человечество, поместив людей в виртуальную реальность «Матрица», имитирующую мир конца XX века. Главный герой, программист Томас Андерсон (нео), узнаёт правду и присоединяется к сопротивлению.

Фильм получил четыре премии «Оскар» (за визуальные эффекты, монтаж, звук и звуковой монтаж) и стал культурным явлением, повлиявшим на эстетику киберпанка и философские дискуссии о природе реальности. Продолжения — «Матрица: Перезагрузка» (2003), «Матрица: Революция» (2003) и «Матрица: Воскрешение» (2021).

¶Философский контекст

Концепция «Матрицы» восходит к философской проблеме мозга в колбе — гипотезе о том, что воспринимаемая реальность может быть симуляцией. Ключевые источники влияния на фильм: работы Жана Бодрийяра «Симулякры и симуляция», философский скептицизм (Декарт, «Гипотеза обманчивого демона»), а также концепция «других умов».

¶Прочие значения

• Матрица (типографика) — штамп для отливки металлических литер.
• Матрица (геология) — основная масса горной породы, окружающая вкрапленные минералы.
• Матрица (математическая логика) — в логике высказываний — формула, составленная из пропозициональных переменных и логических связок.
• Матрица (генный инженеринг) — носитель ДНК в клонировании.

Источники:

• Кэли А. «Мемуар о теории матриц» (1858)
• Гантмахер Ф. Р. «Теория матриц»
• Press W. H. et al. «Numerical Recipes»
• Baudrillard J. «Simulacres et Simulation» (1981)
• Wachowski L., Wachowski L. «The Matrix» (1999)