Матрицы Паули¶

Матрицы Паули — это набор из трёх эрмитовых 2×2-матриц, которые вместе с единичной матрицей образуют базис в пространстве эрмитовых 2×2-матриц. Они введены швейцарским физиком Вольфгангом Паули в 1927 году для описания спина электрона в квантовой механике. Матрицы Паули являются генераторами группы SU(2) и играют фундаментальную роль в квантовой теории, теории представлений групп, а также в квантовых вычислениях и спинтронике.

¶Определение и обозначения

Матрицы Паули обычно обозначаются символами σ₁, σ₂, σ₃ (или σₓ, σᵧ, σ_z) и имеют следующий вид в стандартном представлении:

σ₁ = σₓ = [0 1; 1 0] σ₂ = σᵧ = [0 -i; i 0] σ₃ = σ_z = [1 0; 0 -1]

где i — мнимая единица. Единичная матрица 2×2 обозначается I (или σ₀) и не входит в набор матриц Паули, но часто рассматривается вместе с ними.

¶Свойства

¶Эрмитовость и унитарность

Все три матрицы Паули являются эрмитовыми (σᵢ = σᵢ†) и унитарными (σᵢσᵢ† = I). Их собственные значения равны ±1, а определитель каждой матрицы равен −1. След (сумма диагональных элементов) каждой матрицы Паули равен нулю.

¶Коммутационные соотношения

Матрицы Паули удовлетворяют фундаментальным коммутационным соотношениям алгебры Ли группы SU(2):

[σᵢ, σⱼ] = 2i εᵢⱼₖ σₖ,

где [·,·] — коммутатор, εᵢⱼₖ — полностью антисимметричный тензор Леви-Чивиты (ε₁₂₃ = 1). Это означает, что матрицы Паули, делённые на 2i, образуют базис алгебры Ли su(2).

¶Антикоммутационные соотношения

Антикоммутатор (сумма произведения в разном порядке) матриц Паули равен:

{σᵢ, σⱼ} = σᵢσⱼ + σⱼσᵢ = 2δᵢⱼ I,

где δᵢⱼ — символ Кронекера. Из этого следует, что матрицы Паули антикоммутируют при i ≠ j: σᵢσⱼ = −σⱼσᵢ.

¶Произведение матриц

Из коммутационных и антикоммутационных соотношений выводится общее правило умножения:

σᵢσⱼ = δᵢⱼ I + i εᵢⱼₖ σₖ.

Например, σ₁σ₂ = iσ₃, σ₂σ₃ = iσ₁, σ₃σ₁ = iσ₂.

¶Полнота и разложение

Любая эрмитова 2×2-матрица A может быть однозначно разложена по базису из единичной матрицы и матриц Паули:

A = a₀ I + a₁ σ₁ + a₂ σ₂ + a₃ σ₃,

где a₀, a₁, a₂, a₃ — вещественные числа. Коэффициенты находятся как a₀ = (1/2) Tr(A), aᵢ = (1/2) Tr(Aσᵢ).

¶Физическая интерпретация

¶Спин электрона

Матрицы Паули непосредственно связаны с оператором спина S частицы со спином 1/2 (например, электрона). Оператор спина выражается как:

S = (ħ/2) σ,

где ħ — редуцированная постоянная Планка, а σ — вектор, составленный из матриц Паули. Собственные состояния оператора S₃ (проекции спина на ось z) соответствуют спину «вверх» (|↑⟩) и «вниз» (|↓⟩) с собственными значениями +ħ/2 и −ħ/2.

¶Матрицы поворота

Матрицы Паули используются для построения операторов поворота в пространстве спиновых состояний. Поворот на угол θ вокруг оси, заданной единичным вектором n, описывается оператором:

R(n, θ) = exp(−i (θ/2) n·σ) = I cos(θ/2) − i (n·σ) sin(θ/2).

Это выражение является матрицей из группы SU(2), которая двузначно покрывает группу вращений SO(3).

¶Классификация и обобщения

¶Матрицы Паули и кватернионы

Существует прямая связь между матрицами Паули и кватернионами. Если определить матрицы:

e₁ = iσ₁, e₂ = iσ₂, e₃ = iσ₃,

то они удовлетворяют соотношениям eᵢeⱼ = −δᵢⱼ + εᵢⱼₖ eₖ, что соответствует алгебре кватернионов.

¶Обобщённые матрицы Паули (матрицы Гильберта — Шмидта)

Для пространств размерности N > 2 существуют обобщения матриц Паули, называемые матрицами Гильберта — Шмидта или обобщёнными матрицами Паули. Они образуют базис в пространстве N×N-матриц и используются в квантовой информатике.

¶Матрицы Паули в квантовых вычислениях

В квантовых вычислениях матрицы Паули являются ключевыми однокубитовыми гейтами (квантовыми операциями). Гейт Паули X (σₓ) выполняет операцию «NOT» (отрицание), гейт Z (σ_z) — фазовый сдвиг, а гейт Y (σᵧ) — комбинацию обоих. Любой однокубитовый унитарный оператор может быть представлен как комбинация поворотов вокруг осей, заданных матрицами Паули.

¶Применение

¶Квантовая механика

Помимо описания спина, матрицы Паули используются для описания поляризации фотонов, изотопического спина в ядерной физике, а также для представления операторов в двухуровневых квантовых системах (кубитах).

¶Теория представлений групп

Матрицы Паули являются генераторами фундаментального представления группы SU(2). Они используются для построения представлений более высоких размерностей через тензорные произведения.

¶Физика твёрдого тела

В спинтронике матрицы Паули применяются для описания спиновых токов и спиновых эффектов, таких как спиновый эффект Холла и спиновый перенос.

¶Математическая физика

Матрицы Паули появляются в уравнениях Дирака, в теории спиноров и в дифференциальной геометрии при описании связностей на спинорных расслоениях.

¶Интересные факты

• Матрицы Паули были введены Вольфгангом Паули для объяснения аномального эффекта Зеемана, который не укладывался в рамки старой квантовой теории.
• Название «спин» (от англ. spin — «вращение») было предложено Ральфом Кронигом и независимо — Сэмюэлем Гаудсмитом и Джорджем Уленбеком, но именно Паули дал математическое описание этой величины с помощью матриц.
• Матрицы Паули связаны с числами октонионов через алгебру Клиффорда Cℓ₃(R).
• В квантовой оптике матрицы Паули используются для описания сферы Блоха — геометрического представления состояния кубита.

¶Критика и ограничения

Матрицы Паули описывают только частицы со спином 1/2. Для частиц с бо́льшим спином (например, спин 1 у фотона или спин 3/2 у некоторых барионов) требуются матрицы большей размерности, построенные на основе обобщённых матриц Паули или представлений группы SU(2) более высокой размерности. Кроме того, в релятивистской квантовой механике для описания частиц со спином 1/2 используются гамма-матрицы Дирака, которые являются прямым обобщением матриц Паули на 4-мерное пространство-время.

¶Источники

• Паули В. Общие принципы волновой механики. — М.: Гостехиздат, 1947.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — М.: Наука, 1989.
• Шифф Л. Квантовая механика. — М.: Иностранная литература, 1959.
• Нильсен М., Чанг И. Квантовые вычисления и квантовая информация. — М.: Мир, 2006.
• Гельфанд И. М., Минлос Р. А., Шапиро З. Я. Представления группы вращений и группы Лоренца. — М.: Физматгиз, 1958.