Тензор Леви-Чивиты

Тензор Леви-Чивиты (также известный как символ Леви-Чивиты, символ перестановок, полностью антисимметричный тензор) — это математический объект, используемый в тензорном исчислении, дифференциальной геометрии и теоретической физике, который представляет собой полностью антисимметричный тензор (или псевдотензор) определённой валентности. В трёхмерном евклидовом пространстве он позволяет компактно записывать векторное произведение, смешанное произведение и оператор ротора, а в пространствах произвольной размерности — определять внешнее произведение и обобщённую формулу Стокса.

Определение

Символ Леви-Чивиты в трёхмерном пространстве (обозначается $\varepsilon_{ijk}$ или $\epsilon_{ijk}$) определяется следующим образом:

• $\varepsilon_{ijk} = 0$, если любые два индекса равны (например, $\varepsilon_{112} = 0$);
• $\varepsilon_{ijk} = 1$, если $(i,j,k)$ является чётной перестановкой чисел $(1,2,3)$ (например, $\varepsilon_{123} = 1$, $\varepsilon_{231} = 1$, $\varepsilon_{312} = 1$);
• $\varepsilon_{ijk} = -1$, если $(i,j,k)$ является нечётной перестановкой чисел $(1,2,3)$ (например, $\varepsilon_{132} = -1$, $\varepsilon_{213} = -1$, $\varepsilon_{321} = -1$).

В общем случае для $n$-мерного пространства символ Леви-Чивиты $\varepsilon_{i_1 i_2 \dots i_n}$ определяется как знак перестановки индексов $(i_1, i_2, \dots, i_n)$ относительно упорядоченного набора $(1, 2, \dots, n)$, если все индексы различны, и равен нулю при наличии повторяющихся индексов.

История

Тензор назван в честь итальянского математика Туллио Леви-Чивиты (1873–1941), который внёс значительный вклад в развитие тензорного исчисления и общей теории относительности. Символ был введён в конце XIX — начале XX века в рамках работ по абсолютному дифференциальному исчислению (тензорному анализу), разработанному совместно с Грегорио Риччи-Курбастро. Леви-Чивита использовал его для компактной записи уравнений геодезических и кривизны.

Свойства

Антисимметричность

Тензор Леви-Чивиты является полностью антисимметричным: при перестановке любых двух индексов его знак меняется на противоположный. Например, в трёхмерном случае: $$ \varepsilon_{ijk} = -\varepsilon_{jik} = -\varepsilon_{ikj} = -\varepsilon_{kji}. $$

Связь с определителем

Символ Леви-Чивиты может быть выражен через определитель матрицы Кронекера: $$ \varepsilon_{i_1 i_2 \dots i_n} = \det \begin{pmatrix} \delta_{i_1 1} & \delta_{i_1 2} & \dots & \delta_{i_1 n} \\ \delta_{i_2 1} & \delta_{i_2 2} & \dots & \delta_{i_2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \delta_{i_n 1} & \delta_{i_n 2} & \dots & \delta_{i_n n} \end{pmatrix}, $$ где $\delta_{ij}$ — символ Кронекера.

Свёртка

Важное свойство — свёртка двух символов Леви-Чивиты: $$ \varepsilon_{ijk} \varepsilon_{ilm} = \delta_{jl} \delta_{km} - \delta_{jm} \delta_{kl}, $$ где $\delta$ — символ Кронекера. В $n$-мерном случае свёртка $p$ индексов даёт выражение через определитель матрицы из дельт Кронекера.

Тензорная природа

В трёхмерном евклидовом пространстве $\varepsilon_{ijk}$ является псевдотензором (тензорной плотностью веса +1), то есть при преобразовании координат с отрицательным якобианом (например, при отражении) он меняет знак. В римановой геометрии и общей теории относительности используется тензорная плотность Леви-Чивиты, которая преобразуется как тензор с весом.

Применение

Векторное исчисление

В трёхмерном пространстве векторное произведение двух векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ записывается через символ Леви-Чивиты: $$ (\mathbf{a} \times \mathbf{b})_i = \varepsilon_{ijk} a_j b_k. $$ Смешанное произведение трёх векторов: $$ \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \varepsilon_{ijk} a_i b_j c_k. $$

Дифференциальные операторы

Ротор векторного поля $\mathbf{F}$ в декартовых координатах: $$ (\nabla \times \mathbf{F})_i = \varepsilon_{ijk} \partial_j F_k. $$

Теоретическая физика

В электродинамике тензор Леви-Чивиты используется для записи уравнений Максвелла в ковариантной форме, в частности — для определения тензора электромагнитного поля и его дуального тензора. В квантовой механике он применяется при описании спиновых матриц Паули и коммутационных соотношений для операторов углового момента.

Дифференциальная геометрия

В $n$-мерном многообразии с метрическим тензором $g_{ij}$ определяется тензорная плотность объёма: $$ \epsilon_{i_1 i_2 \dots i_n} = \sqrt{|g|} \, \varepsilon_{i_1 i_2 \dots i_n}, $$ где $g$ — определитель метрического тензора. Этот объект используется для интегрирования дифференциальных форм и обобщения теоремы Стокса.

Теория относительности

В общей теории относительности тензор Леви-Чивиты применяется для определения тензора кривизны Римана, тензора Вейля и дуальных тензоров. Например, тензор Римана может быть выражен через символы Леви-Чивиты и тензор Риччи.

Примеры

Трёхмерный случай

Значения $\varepsilon_{ijk}$ для трёхмерного пространства:

• $\varepsilon_{123} = 1$,
• $\varepsilon_{132} = -1$,
• $\varepsilon_{213} = -1$,
• $\varepsilon_{231} = 1$,
• $\varepsilon_{312} = 1$,
• $\varepsilon_{321} = -1$,
• все остальные комбинации равны 0.

Четырёхмерный случай

В пространстве-времени Минковского (4 измерения) символ $\varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma}$ используется для определения дуального тензора электромагнитного поля: $$ \tilde{F}^{\mu\nu} = \frac{1}{2} \varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} F_{\rho\sigma}. $$

Обобщения

Тензорная плотность Леви-Чивиты

В произвольном римановом многообразии вводится тензорная плотность: $$ \mathcal{E}_{i_1 i_2 \dots i_n} = \sqrt{|g|} \, \varepsilon_{i_1 i_2 \dots i_n}, $$ которая преобразуется как тензор при сохраняющих ориентацию преобразованиях координат.

Символ Леви-Чивиты в квантовой теории поля

В квантовой теории поля символ Леви-Чивиты используется для определения гамма-матриц Дирака в пятимерных моделях и для записи аномалий (например, киральной аномалии).

Интересные факты

• Символ Леви-Чивиты тесно связан с понятием ориентации пространства: его знак зависит от выбора правой или левой системы координат.
• В трёхмерном пространстве количество ненулевых компонент символа равно 6 (из 27 возможных).
• В компьютерной алгебре (например, в системах Mathematica, Maple) символ Леви-Чивиты реализован как встроенная функция, позволяющая автоматически выполнять свёртки и упрощения.

Источники

• Леви-Чивита, Т. Абсолютное дифференциальное исчисление. — М.: ГИТТЛ, 1948.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: методы и приложения. — М.: Наука, 1986.
• Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. — М.: Мир, 1977.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Том 2: Теория поля. — М.: Наука, 1988.
• Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. — М.: Наука, 1965.