Редуцированная постоянная Планка

Редуцированная постоянная Планка (также известная как постоянная Дирака или ℏ) — это фундаментальная физическая константа, равная постоянной Планка \( h \), делённой на \( 2\pi \). Она является основной единицей измерения квантового действия и момента импульса в квантовой механике, где её использование позволяет упростить математические выражения, избавляясь от множителя \( 2\pi \) в формулах, описывающих волновые функции и вращательные степени свободы. Значение редуцированной постоянной Планка в Международной системе единиц (СИ) составляет приблизительно \( 1,054571817 \times 10^{-34} \) Дж·с.

Определение и связь с постоянной Планка

Редуцированная постоянная Планка определяется как:

\[ \hbar = \frac{h}{2\pi} \]

где \( h \) — постоянная Планка (\( 6,62607015 \times 10^{-34} \) Дж·с). Введение ℏ связано с тем, что во многих уравнениях квантовой механики, таких как уравнение Шрёдингера или соотношение неопределённостей Гейзенберга, частота и энергия связываются через циклическую частоту \( \omega \) (в радианах в секунду), а не через обычную частоту \( \nu \) (в герцах). Поскольку \( \omega = 2\pi \nu \), использование ℏ делает запись более компактной: \( E = \hbar \omega \), а не \( E = h \nu \).

История возникновения

Концепция редуцированной постоянной Планка впервые была предложена французским физиком Полем Дираком в 1926 году. В своей работе, посвящённой квантовой теории излучения, Дирак ввёл обозначение \( \hbar \) для упрощения записи квантовых уравнений. Однако сам символ ℏ (h с перекладиной) стал широко использоваться после публикации его книги «Принципы квантовой механики» (1930). Дирак отмечал, что это обозначение позволяет избежать постоянного появления множителя \( 2\pi \) в формулах, что делает теорию более элегантной. Впоследствии ℏ стала стандартом в квантовой механике, физике элементарных частиц и квантовой теории поля.

Физический смысл

Редуцированная постоянная Планка является квантом действия — минимально возможным изменением физического действия в квантовых процессах. В квантовой механике ℏ определяет масштаб, на котором проявляются квантовые эффекты: если действие системы сравнимо с ℏ, то классическое описание перестаёт работать, и необходимо использовать квантовую теорию. Кроме того, ℏ является единицей измерения момента импульса: собственный момент импульса (спин) элементарных частиц, таких как электроны, всегда кратен \( \hbar/2 \).

Роль в фундаментальных уравнениях

Уравнение Шрёдингера

Временное уравнение Шрёдингера для нерелятивистской частицы записывается с использованием ℏ:

\[ i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r}, t) = \hat{H} \Psi(\mathbf{r}, t) \]

где \( \Psi \) — волновая функция, \( \hat{H} \) — оператор Гамильтона. Множитель \( i\hbar \) связывает временную производную волновой функции с энергией системы.

Соотношение неопределённостей Гейзенберга

Принцип неопределённости, сформулированный Вернером Гейзенбергом, в канонической форме имеет вид:

\[ \Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{\hbar}{2} \]

где \( \Delta x \) — неопределённость координаты, \( \Delta p \) — неопределённость импульса. Величина \( \hbar/2 \) задаёт нижнюю границу произведения этих неопределённостей.

Коммутационные соотношения

В квантовой механике операторы физических величин подчиняются коммутационным соотношениям, в которых ℏ выступает как коэффициент. Например, для операторов координаты \( \hat{x} \) и импульса \( \hat{p}_x \):

\[ [\hat{x}, \hat{p}_x] = i\hbar \]

Это соотношение является математическим выражением принципа неопределённости.

Применение в различных областях физики

Квантовая механика и квантовая теория поля

В квантовой механике ℏ используется для квантования энергии гармонического осциллятора: \( E_n = \hbar \omega (n + 1/2) \), где \( n \) — целое неотрицательное число. В квантовой теории поля ℏ входит в выражения для констант связи и в определение пропагаторов (функций Грина). В частности, в квантовой электродинамике постоянная тонкой структуры \( \alpha \) определяется как \( \alpha = e^2/(4\pi \epsilon_0 \hbar c) \), где \( e \) — элементарный заряд, \( c \) — скорость света.

Физика элементарных частиц

В физике частиц ℏ используется для выражения масс и энергий в единицах, обратных длине: например, масса электрона \( m_e \approx 0,511 \) МэВ/\( c^2 \), а комптоновская длина волны \( \lambda_e = \hbar/(m_e c) \). В стандартной модели ℏ входит в лагранжианы взаимодействий и в правила Фейнмана для вычисления амплитуд рассеяния.

Космология и теория квантовой гравитации

В космологии ℏ появляется в уравнениях, описывающих раннюю Вселенную, например, в инфляционной модели. В попытках построить квантовую теорию гравитации (например, в теории струн или петлевой квантовой гравитации) ℏ используется для квантования метрики пространства-времени. Планковская длина \( l_P = \sqrt{\hbar G/c^3} \), где \( G \) — гравитационная постоянная, задаёт масштаб, на котором квантовые эффекты гравитации становятся существенными.

Значение в системе единиц

Редуцированная постоянная Планка является одной из фундаментальных констант, используемых для определения единиц измерения в системе Планка. В этой системе ℏ, скорость света \( c \) и гравитационная постоянная \( G \) принимаются равными единице, что упрощает уравнения квантовой гравитации. В Международной системе единиц (СИ) ℏ имеет точное значение, зафиксированное в определении килограмма: с 2019 года килограмм определяется через постоянную Планка \( h \), а следовательно, и через ℏ.

Интересные факты

• Символ ℏ (U+210F) в типографике называется «h с перекладиной» и часто используется в физической литературе. В некоторых старых текстах встречается обозначение \( \hbar \) как \( h/2\pi \).
• Величина ℏ чрезвычайно мала в макроскопических масштабах, что объясняет, почему квантовые эффекты незаметны в повседневной жизни. Например, момент импульса вращающегося колеса автомобиля составляет порядка \( 10^{30} \hbar \).
• В квантовой механике ℏ часто называют «квантом действия», подчёркивая его роль как минимальной единицы физического действия.

Источники

• Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики. — М.: Наука, 1979.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — М.: Физматлит, 2004.
• Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Том 8: Квантовая механика. — М.: Мир, 1978.
• CODATA (2018). Recommended values of the fundamental physical constants. National Institute of Standards and Technology.