Мера плоского угла¶
Мера плоского угла — числовая характеристика величины угла, выраженная в выбранных единицах измерения. Плоский угол образуется двумя лучами, исходящими из одной точки (вершины), и его мера показывает, во сколько раз данный угол больше принятого за единицу угла. В школьной геометрии под мерой угла обычно понимают величину, выраженную в градусах, радианах или градах.
¶Определение и сущность
Плоский угол — это геометрическая фигура, состоящая из точки (вершины) и двух лучей, выходящих из этой точки. Величина угла зависит от «раскрытия» лучей: чем сильнее они разведены, тем больше угол. Чтобы сравнивать углы и выполнять с ними вычисления, вводят понятие меры угла — числа, соответствующего каждому углу.
За единицу измерения принимают некоторый фиксированный угол (прямой, развёрнутый или любой другой), а меру произвольного угла выражают числом, показывающим, во сколько раз этот угол больше или меньше единицы.
¶Основные единицы измерения
¶Градусная мера
Градусная мера угла — самая распространённая в школьной математике и практической деятельности. Прямой угол (90°) делится на 90 равных частей, каждая из которых называется градусом. Полный оборот вокруг точки соответствует 360°, развёрнутый угол — 180°.
Для измерения меньших величин используют минуты и секунды: 1° = 60′ (минут), 1′ = 60″ (секунд). Эта система восходит к вавилонской астрономии, где полный круг делился на 360 частей, что связано с приблизительным числом суток в году.
¶Радианная мера
Радиан — единица измерения угла, при которой дуга окружности равна её радиусу. Радианная мера является естественной единицей в математическом анализе и теории тригонометрии, поскольку упрощает формулы производных и интегралов тригонометрических функций.
Соотношение между градусами и радианами:
- полный угол: 360° = 2π рад;
- прямой угол: 90° = π/2 рад;
- развёрнутый угол: 180° = π рад.
Число π (пи) — иррациональное, поэтому радианная мера любого нетривиального угла, как правило, не является рациональным числом.
¶Град (гон)
Град (также гон, от лат. gradus — шаг) — единица измерения угла, при которой прямой угол равен 100 градам, а полный оборот — 400 градам. Система была предложена во Франции в XVIII веке в связи с внедрением метрической системы и применяется преимущественно в геодезии и некоторых инженерных расчётах.
Соотношение: 100 градов = 90° = π/2 радиана.
¶Свойства меры угла
Мера угла обладает рядом важных свойств:
- Аддитивность. Мера суммы двух смежных (или соприкасающихся) углов равна сумме мер каждого из них.
- Монотонность. Если один угол содержится внутри другого, его мера не превышает меру большего угла.
- Положительность. Мера угла, отличного от нулевого, положительна.
Нулевой угол — угол, стороны которого совпадают; его мера равна нулю во всех системах измерения.
¶Измерение углов
Для измерения углов на практике применяют транспортир (градусная мера), специальные угломеры, теодолиты (в геодезии) и спектрометры (в физике). В компьютерной графике и программировании часто используют радианы, поскольку стандартные математические библиотеки (например, sin, cos) принимают аргументы в радианах.
¶Применение
Градусная мера применяется в повседневной жизни, строительстве, черчении, навигации и астрономии. Радианная мера — основа математического анализа, теории колебаний, волновой физики и электротехники. Град используется в геодезических работах и картографии.
В России при обучении геометрии в общеобразовательных школах традиционно используется градусная мера, а радианная мера вводится при изучении тригонометрии в старших классах.
Источники:
- Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 7–9 классы. — М.: Просвещение.
- Виленкин Н. Я., Жохов В. И. Математика. 6 класс. — М.: Мнемозина.
- Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. — М.: Высшая школа.
- Энциклопедический словарь юного математика. — М.: Педагогика.