Методы наибольшего среднего¶

Методы наибольшего среднего (также известные как методы делителей или методы Хэра — Нимейера) — это группа алгоритмов распределения депутатских мандатов в представительных органах власти при пропорциональной избирательной системе. В отличие от методов наибольшего остатка, они основаны на последовательном делении числа голосов, полученных каждой партией, на ряд возрастающих делителей, после чего мандаты присваиваются партиям, получившим наибольшие частные от такого деления. Основная цель методов — минимизировать отклонение от пропорциональности и обеспечить стабильное большинство, часто в ущерб точному математическому равенству.

¶История

Идея использования делителей для распределения мест восходит к работам американского государственного деятеля Александра Гамильтона (конец XVIII века), однако первым формализованным методом стал метод Джефферсона (Томас Джефферсон, 1792 год). В XIX веке метод Джефферсона использовался в США для распределения мест в Палате представителей между штатами, но был раскритикован за систематическое завышение доли крупных штатов.

В 1842 году американский конгрессмен Дэниел Уэбстер предложил альтернативный метод, основанный на делителе, равном среднему арифметическому между соседними целыми числами. Метод Уэбстера (также известный как метод Сент-Лаге) был впервые применён в Норвегии в 1919 году и впоследствии стал одним из самых распространённых в Европе.

В 1878 году бельгийский математик Виктор д’Ондт разработал метод, который позже стал известен как метод д’Ондта. Он был принят в Бельгии в 1900 году и с тех пор используется во многих странах, включая Россию (на выборах в Государственную думу с 2007 по 2016 год), Германию, Испанию, Аргентину и другие.

В 1950-х годах французский математик Андре Сент-Лаге независимо переоткрыл метод Уэбстера, и в научной литературе он часто называется методом Сент-Лаге. Модификация этого метода с делителями 1,4; 3; 5; 7... (так называемый метод Сент-Лаге с поправкой) используется в Швеции, Норвегии и Латвии.

¶Принцип работы

Все методы наибольшего среднего следуют единой логике: общее количество голосов, поданных за каждую партию, делится на последовательность делителей (обычно целые числа, начиная с 1, 2, 3...). Полученные частные (средние) ранжируются по убыванию, и первые \( n \) наибольших значений (где \( n \) — число мандатов) определяют, какие партии и сколько раз получают места.

Формально: пусть \( v_i \) — число голосов за партию \( i \), \( d_k \) — делитель для \( k \)-го мандата (обычно \( d_k = k \) или \( d_k = 2k - 1 \)). Тогда для каждого мандата \( m \) вычисляется частное \( q_{i,m} = v_i / d_m \). Мандат присуждается партии с максимальным \( q_{i,m} \) на текущем шаге, после чего делитель для этой партии увеличивается на 1 (или на следующее значение в последовательности).

¶Основные методы

¶Метод д’Ондта (метод Джефферсона)

Делители: 1, 2, 3, 4, 5... (натуральный ряд). Этот метод даёт преимущество крупным партиям, так как чем больше голосов у партии, тем быстрее она набирает частные, превышающие частные мелких партий. Метод д’Ондта используется в большинстве стран с пропорциональной системой, включая Германию (на федеральных выборах), Испанию, Португалию, Финляндию, Израиль, Турцию и Россию (до 2016 года). Критики отмечают, что он может существенно искажать пропорциональность в пользу лидеров.

¶Метод Сент-Лаге (метод Уэбстера)

Делители: 1, 3, 5, 7, 9... (нечётные числа). Этот метод считается более пропорциональным, чем метод д’Ондта, так как делители растут быстрее, что уменьшает преимущество крупных партий. Метод Сент-Лаге применяется в Норвегии, Швеции, Латвии, Новой Зеландии, а также в некоторых землях Германии. Модификация с делителями 1,4; 3; 5; 7... (метод Сент-Лаге с поправкой) используется в Швеции и Латвии для снижения вероятности получения мандата партиями с очень малым числом голосов.

¶Метод Хантингтона — Хилла (метод равной пропорции)

Делители: \( \sqrt{k(k-1)} \) для \( k \geq 2 \), где \( k \) — номер мандата. Этот метод стремится минимизировать относительное отклонение доли мест от доли голосов. С 1941 года он используется в США для распределения мест в Палате представителей между штатами. В отличие от других методов, он не требует предварительного установления делителей — они вычисляются динамически.

¶Метод Империали

Делители: 1, 1,5; 2; 2,5; 3... (шаг 0,5). Этот метод даёт ещё большее преимущество крупным партиям, чем метод д’Ондта, и используется в некоторых странах для формирования стабильного большинства (например, в Бельгии на муниципальных выборах). Критикуется за сильное искажение пропорциональности.

¶Сравнение с методами наибольшего остатка

Методы наибольшего среднего и методы наибольшего остатка (например, метод Хэра — Нимейера) решают одну задачу, но разными способами. Основные различия:

• Пропорциональность: методы наибольшего среднего (особенно Сент-Лаге) обычно дают более пропорциональное распределение, чем методы наибольшего остатка, которые могут приводить к парадоксам (например, парадокс Алабамы).
• Склонность к искажению: метод д’Ондта систематически завышает долю мест крупных партий, метод Сент-Лаге — нейтрален, метод Империали — ещё более смещён в пользу крупных.
• Стабильность: методы наибольшего среднего реже приводят к ситуациям, когда партия получает мандат, хотя её доля голосов ниже заградительного барьера (если барьер установлен).
• Сложность расчёта: методы наибольшего среднего требуют итеративного вычисления, но легко реализуются программно.

¶Применение в России

В России методы наибольшего среднего применялись на выборах депутатов Государственной думы в 2007, 2011 и 2016 годах. Согласно Федеральному закону «О выборах депутатов Государственной Думы Федерального Собрания Российской Федерации» (в редакции 2005 года), распределение мандатов между партиями, преодолевшими 7-процентный заградительный барьер (в 2016 году — 5%), осуществлялось методом д’Ондта. В 2014 году был принят закон, возвращающий смешанную избирательную систему (половина депутатов избирается по одномандатным округам, половина — по партийным спискам), и с 2016 года метод д’Ондта применяется только для распределения мандатов по федеральному округу.

¶Критика и ограничения

Основные недостатки методов наибольшего среднего:

• Систематическое смещение: метод д’Ондта и метод Империали дают преимущество крупным партиям, что может противоречить принципу равного представительства.
• Сложность восприятия: для избирателей алгоритм распределения менее прозрачен, чем методы наибольшего остатка.
• Зависимость от заградительного барьера: при высоком барьере (например, 7%) методы наибольшего среднего могут усиливать эффект отсечения мелких партий.
• Парадоксы: хотя методы наибольшего среднего менее подвержены парадоксам, чем методы наибольшего остатка, они не лишены их полностью (например, парадокс нового штата).

¶Пример расчёта

Пусть три партии (A, B, C) получили 100 000, 60 000 и 40 000 голосов соответственно, и нужно распределить 5 мандатов. Используем метод д’Ондта (делители 1, 2, 3...):

Ранжируем все частные по убыванию: 100 000 (A), 60 000 (B), 50 000 (A), 40 000 (C), 33 333 (A) — это первые 5 значений. Таким образом, партия A получает 3 мандата, B — 1, C — 1.

Для сравнения, метод Сент-Лаге (делители 1, 3, 5, 7, 9) дал бы:

Первые 5: 100 000 (A), 60 000 (B), 40 000 (C), 33 333 (A), 20 000 (A и B). Сравнивая, получаем: A — 2 мандата, B — 2, C — 1. Метод Сент-Лаге дал более пропорциональный результат (2:2:1 против 3:1:1).

¶Источники

1. Федеральный закон от 18 мая 2005 года № 51-ФЗ «О выборах депутатов Государственной Думы Федерального Собрания Российской Федерации» (с изменениями).
2. Balinski, M. L., & Young, H. P. (1982). Fair Representation: Meeting the Ideal of One Man, One Vote. Yale University Press.
3. Gallagher, M. (1991). «Proportionality, Disproportionality and Electoral Systems». Electoral Studies, 10(1), 33–51.
4. Lijphart, A. (1994). Electoral Systems and Party Systems: A Study of Twenty-Seven Democracies, 1945–1990. Oxford University Press.