Модули Вейля

Модули Вейля — это класс модулей над алгебрами Ли, введённый в математике для изучения представлений полупростых алгебр Ли. Они являются аналогом модулей Верма, но с более простой структурой, и используются в теории характеров и когомологиях алгебр Ли. Модули Вейля играют ключевую роль в доказательстве теоремы Вейля о полной приводимости представлений полупростых алгебр Ли.

Определение

Пусть \(\mathfrak{g}\) — полупростая алгебра Ли над полем \(\mathbb{C}\) (или любым алгебраически замкнутым полем характеристики нуль), \(\mathfrak{h}\) — её подалгебра Картана, \(\Phi\) — система корней, \(\Phi^+\) — множество положительных корней. Для каждого веса \(\lambda \in \mathfrak{h}^*\) (линейная функция на \(\mathfrak{h}\)) определяется модуль Вейля \(W(\lambda)\) как модуль, индуцированный с одномерного представления борелевской подалгебры \(\mathfrak{b} = \mathfrak{h} \oplus \bigoplus_{\alpha \in \Phi^+} \mathfrak{g}_\alpha\) (где \(\mathfrak{g}_\alpha\) — корневое подпространство). Формально:

\[ W(\lambda) = U(\mathfrak{g}) \otimes_{U(\mathfrak{b})} \mathbb{C}_\lambda, \]

где \(U(\mathfrak{g})\) — универсальная обёртывающая алгебра, \(U(\mathfrak{b})\) — её подалгебра, соответствующая \(\mathfrak{b}\), а \(\mathbb{C}_\lambda\) — одномерное \(\mathfrak{b}\)-модуль, на котором \(\mathfrak{h}\) действует через \(\lambda\), а \(\mathfrak{g}_\alpha\) (\(\alpha \in \Phi^+\)) — тривиально.

Модуль Вейля является конечно порождённым и имеет единственный максимальный подмодуль, фактор по которому даёт простой модуль \(L(\lambda)\) с тем же старшим весом.

Связь с модулями Верма

Модули Вейля и модули Верма тесно связаны, но имеют различия в структуре. Модуль Верма \(M(\lambda)\) строится аналогично, но с использованием нильпотентной подалгебры \(\mathfrak{n}^+ = \bigoplus_{\alpha \in \Phi^+} \mathfrak{g}_\alpha\) вместо борелевской. В результате:

• \(M(\lambda)\) имеет более сложную структуру: он содержит подмодули, соответствующие корням, и его факторизация по максимальному подмодулю даёт \(L(\lambda)\).
• \(W(\lambda)\) является прямым слагаемым в \(M(\lambda)\) при определённых условиях, но в общем случае \(W(\lambda)\) проще: он не имеет нильпотентных элементов и является свободным модулем над подалгеброй, порождённой отрицательными корнями.

Основное отличие: модули Верма параметризуются весами, а модули Вейля — теми же весами, но с учётом действия группы Вейля. В частности, \(W(\lambda)\) изоморфен модулю Верма \(M(\lambda)\) тогда и только тогда, когда \(\lambda\) — доминантный вес (то есть \(\langle \lambda, \alpha^\vee \rangle \ge 0\) для всех \(\alpha \in \Phi^+\)).

Свойства

Конечномерность

Если \(\lambda\) — доминантный и целочисленный вес (то есть \(\langle \lambda, \alpha^\vee \rangle \in \mathbb{Z}_{\ge 0}\) для всех \(\alpha \in \Phi^+\)), то модуль Вейля \(W(\lambda)\) конечномерен и совпадает с простым модулем \(L(\lambda)\). В противном случае \(W(\lambda)\) бесконечномерен.

Характер

Характер модуля Вейля (формальный след действия \(\mathfrak{h}\)) задаётся формулой Вейля:

\[ \text{ch} \, W(\lambda) = \frac{\sum_{w \in W} \text{sgn}(w) e^{w(\lambda + \rho) - \rho}}{\prod_{\alpha \in \Phi^+} (1 - e^{-\alpha})}, \]

где \(W\) — группа Вейля, \(\rho\) — полусумма положительных корней, \(\text{sgn}(w)\) — знак перестановки. Эта формула аналогична формуле для характера простого модуля, но без учёта знаменателя, связанного с корнями.

Когомологии

Модули Вейля используются в вычислении когомологий алгебр Ли. Например, группа когомологий \(H^1(\mathfrak{g}, W(\lambda))\) может быть описана через веса, и часто она равна нулю для доминантных \(\lambda\).

Полная приводимость

Теорема Вейля о полной приводимости утверждает, что любое конечномерное представление полупростой алгебры Ли разлагается в прямую сумму простых модулей. Модули Вейля служат строительными блоками для доказательства этой теоремы: они позволяют свести задачу к изучению весовых пространств.

Применение

В теории представлений

Модули Вейля являются основным инструментом для классификации и построения представлений полупростых алгебр Ли. Они используются в:

• Теории характеров: формула Вейля для характеров простых модулей выводится через модули Вейля.
• Категории \(\mathcal{O}\): модули Вейля образуют подкатегорию, в которой изучаются свойства фильтраций и расширений.
• Квантовых группах: аналог модулей Вейля существует для квантовых групп, где они называются модулями Вейля-Люстига.

В математической физике

Модули Вейля возникают в контексте интегрируемых систем и теории струн. Например, в модели Годена (Gaudin model) собственные значения гамильтониана выражаются через характеры модулей Вейля.

В алгебраической геометрии

Модули Вейля связаны с теорией пересечений на многообразиях флагов. Их когомологии соответствуют классам Шуберта, что позволяет вычислять числа пересечений.

Примеры

Для алгебры \(\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})\)

Алгебра \(\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})\) имеет базис \(\{e, f, h\}\), где \([h, e] = 2e\), \([h, f] = -2f\), \([e, f] = h\). Подалгебра Картана \(\mathfrak{h} = \langle h \rangle\). Для веса \(\lambda \in \mathbb{C}\) модуль Вейля \(W(\lambda)\) строится как:

• Если \(\lambda = n \in \mathbb{Z}_{\ge 0}\), то \(W(n)\) — конечномерный простой модуль размерности \(n+1\).
• Если \(\lambda \notin \mathbb{Z}_{\ge 0}\), то \(W(\lambda)\) бесконечномерен и имеет базис \(\{v_0, v_1, v_2, \dots\}\), где \(h v_k = (\lambda - 2k) v_k\), \(f v_k = v_{k+1}\), \(e v_k = k(\lambda - k + 1) v_{k-1}\).

Для алгебры \(\mathfrak{sl}_3(\mathbb{C})\)

Для \(\mathfrak{sl}_3(\mathbb{C})\) с корнями \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_1 + \alpha_2\) модуль Вейля \(W(\lambda)\) для \(\lambda = (a, b)\) (в базисе фундаментальных весов) конечномерен, если \(a, b \ge 0\). Например, \(W(1,0)\) — трёхмерное представление, \(W(0,1)\) — сопряжённое трёхмерное, \(W(1,1)\) — восьмимерное присоединённое представление.

Критика и ограничения

Основной недостаток модулей Вейля — их сложность в недоминантном случае: они не являются простыми и их структура подмодулей может быть нетривиальной. Для весов, не являющихся доминантными, модули Вейля могут иметь бесконечную длину композиционного ряда. Кроме того, в характеристике \(p > 0\) (например, в алгебраической геометрии над полями положительной характеристики) модули Вейля не всегда являются проективными, что усложняет их использование.

Источники

• Хамфрис Дж. «Введение в теорию алгебр Ли и их представлений». — М.: МЦНМО, 2003.
• Диксмье Ж. «Универсальные обёртывающие алгебры». — М.: Мир, 1978.
• Фултон У., Харрис Дж. «Теория представлений. Начальный курс». — М.: МЦНМО, 2007.
• Кац В. «Бесконечномерные алгебры Ли». — М.: Мир, 1993.