Группа Вейля

Группа Вейля — это конечная группа, порождённая отражениями относительно гиперплоскостей, связанная с системой корней полупростой алгебры Ли или алгебраической группы. Группа Вейля является фундаментальным объектом теории Ли, алгебраической геометрии и теории представлений, описывающим симметрии корневых систем и играющим ключевую роль в классификации полупростых алгебр Ли, их представлений и структурной теории алгебраических групп.

Определение и основные понятия

Система корней

Для понимания группы Вейля необходимо определить систему корней. Пусть \(V\) — конечномерное евклидово пространство со скалярным произведением \((\cdot,\cdot)\). Система корней \(\Phi\) — это конечное множество ненулевых векторов (корней) в \(V\), удовлетворяющее следующим аксиомам:

1. \(\Phi\) порождает \(V\) как векторное пространство.
2. Для любого \(\alpha \in \Phi\) существует единственный корень \(-\alpha \in \Phi\).
3. Для любых \(\alpha, \beta \in \Phi\) число \(2\frac{(\alpha,\beta)}{(\alpha,\alpha)}\) (называемое целым числом Картана) является целым.
4. Для любого \(\alpha \in \Phi\) отражение \(s_\alpha\) относительно гиперплоскости, ортогональной \(\alpha\), переводит \(\Phi\) в себя.

Отражения и группа Вейля

Для каждого корня \(\alpha\) определим отражение \(s_\alpha: V \to V\) по формуле: \[ s_\alpha(v) = v - 2\frac{(v,\alpha)}{(\alpha,\alpha)} \alpha. \] Отражение \(s_\alpha\) является линейным преобразованием, сохраняющим скалярное произведение, и имеет порядок 2. Группа Вейля \(W\) системы корней \(\Phi\) — это подгруппа группы ортогональных преобразований \(O(V)\), порождённая всеми отражениями \(s_\alpha\) для \(\alpha \in \Phi\). Группа \(W\) конечна, так как она действует перестановками на конечном множестве корней \(\Phi\).

Камеры Вейля

Гиперплоскости \(P_\alpha = \{v \in V \mid (v,\alpha) = 0\}\), соответствующие корням \(\alpha\), разбивают пространство \(V\) на открытые выпуклые многогранные конусы, называемые камерами Вейля. Группа Вейля действует свободно и транзитивно на множестве камер Вейля. Выбор одной камеры (называемой доминантной камерой) позволяет задать систему простых корней и положительных корней.

Свойства и структура

Конечность и порождающие

Как уже отмечено, группа Вейля конечна. Она порождается отражениями, соответствующими простым корням. Если \(\Delta = \{\alpha_1, \dots, \alpha_n\}\) — множество простых корней, то \(W\) порождается отражениями \(s_{\alpha_i}\) для \(i=1,\dots,n\). Соотношения между этими отражениями задаются матрицей Картана \(C_{ij} = 2\frac{(\alpha_i,\alpha_j)}{(\alpha_i,\alpha_i)}\). Порядок произведения \(s_{\alpha_i}s_{\alpha_j}\) равен \(m_{ij}\), где \(m_{ij}\) определяется из соотношения \(C_{ij}C_{ji} = 4\cos^2(\pi/m_{ij})\). Это даёт коксетеровское представление группы Вейля.

Типы групп Вейля

Группы Вейля классифицируются по типам систем корней: \(A_n\), \(B_n\), \(C_n\), \(D_n\), \(E_6\), \(E_7\), \(E_8\), \(F_4\), \(G_2\). Каждый тип соответствует полупростой алгебре Ли или алгебраической группе. Например:

• Тип \(A_n\): группа Вейля изоморфна симметрической группе \(S_{n+1}\).
• Тип \(B_n\) и \(C_n\): группа Вейля изоморфна группе гипероктаэдра \(W(B_n) \cong (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^n \rtimes S_n\).
• Тип \(D_n\): группа Вейля изоморфна подгруппе индекса 2 в \(W(B_n)\), состоящей из элементов с чётным числом знаковых изменений.
• Исключительные типы: \(E_6\), \(E_7\), \(E_8\), \(F_4\), \(G_2\) имеют более сложную структуру.

Порядки групп Вейля

Порядки групп Вейля для различных типов:

• \(A_n\): \((n+1)!\)
• \(B_n\) и \(C_n\): \(2^n n!\)
• \(D_n\): \(2^{n-1} n!\)
• \(E_6\): 51840
• \(E_7\): 2903040
• \(E_8\): 696729600
• \(F_4\): 1152
• \(G_2\): 12

Применение в теории Ли

Классификация полупростых алгебр Ли

Группа Вейля является центральным инструментом в классификации полупростых алгебр Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики 0. Каждая полупростая алгебра Ли \(\mathfrak{g}\) имеет систему корней, и её группа Вейля \(W(\mathfrak{g})\) определяет многие структурные свойства. Например, формула Вейля для характеров представлений использует группу Вейля для суммирования по орбитам весов.

Действие на весах и представления

Пусть \(\mathfrak{g}\) — полупростая алгебра Ли с картановской подалгеброй \(\mathfrak{h}\). Группа Вейля действует на двойственном пространстве \(\mathfrak{h}^*\) и на решётке весов. Это действие используется для описания старших весов неприводимых представлений. Доминантные веса, лежащие в замыкании доминантной камеры, параметризуют неприводимые конечномерные представления.

Аффинные группы Вейля

В теории аффинных алгебр Ли и аффинных систем корней вводится аффинная группа Вейля, которая является полупрямым произведением обычной группы Вейля и решётки корней. Аффинные группы Вейля играют ключевую роль в теории струн, конформной теории поля и в изучении модулярных форм.

Применение в алгебраической геометрии

Группы Вейля алгебраических групп

Для редуктивной алгебраической группы \(G\) над алгебраически замкнутым полем группа Вейля определяется как \(W = N_G(T)/T\), где \(T\) — максимальный тор, а \(N_G(T)\) — его нормализатор. Эта группа конечна и действует на системе корней группы \(G\). Группа Вейля используется для описания параболических подгрупп, классов сопряжённости и теории инвариантов.

Разложение Брюа

Одним из важнейших результатов является разложение Брюа для редуктивной группы \(G\) над полем: \(G = \bigsqcup_{w \in W} BwB\), где \(B\) — борелевская подгруппа. Это разложение лежит в основе теории клеток Шуберта и когомологий многообразий флагов.

Многообразия флагов

Многообразие флагов \(G/B\) (где \(B\) — борелевская подгруппа) является проективным алгебраическим многообразием, клетки которого индексируются элементами группы Вейля. Когомологии многообразия флагов имеют базис, состоящий из классов циклов Шуберта, и их умножение описывается правилом Литтлвуда — Ричардсона и правилом Шуберта.

Примеры

Группа \(A_2\) (алгебра \(\mathfrak{sl}_3\))

Система корней типа \(A_2\) имеет 6 корней, расположенных в вершинах правильного шестиугольника на плоскости. Группа Вейля \(W(A_2)\) изоморфна симметрической группе \(S_3\) порядка 6. Она порождается двумя отражениями \(s_1\) и \(s_2\) относительно прямых, образующих угол 60°. Элементы группы: единица, три отражения и два поворота на 120° и 240°.

Группа \(B_2\) (алгебра \(\mathfrak{so}_5\))

Система корней типа \(B_2\) имеет 8 корней: 4 длинных и 4 коротких. Группа Вейля \(W(B_2)\) изоморфна группе диэдра \(D_4\) порядка 8. Она порождается двумя отражениями \(s_1\) и \(s_2\), где \(s_1\) отражает относительно оси, а \(s_2\) — относительно диагонали. Эта группа действует на квадрате, переставляя его вершины и диагонали.

Интересные факты

• Группа Вейля и группа Кокстера: Группа Вейля является частным случаем группы Кокстера, где все \(m_{ij}\) равны 2, 3, 4 или 6. Обратно, любая конечная группа Кокстера может быть реализована как группа Вейля некоторой системы корней.
• Длинные и короткие корни: В системах корней типов \(B_n\), \(C_n\), \(F_4\) и \(G_2\) имеются корни разной длины. Группа Вейля действует транзитивно на множестве корней одинаковой длины, но не переводит длинные корни в короткие.
• Связь с теорией узлов: Группы Вейля исключительных типов \(E_6\), \(E_7\), \(E_8\) возникают в теории узлов и инвариантах, таких как полином Джонса и гомологии Хованова.
• Применение в физике: В теории струн и суперсимметрии группы Вейля используются для описания симметрий калибровочных полей и компактификаций дополнительных измерений.

Критика и ограничения

Группа Вейля является мощным, но не универсальным инструментом. Она не описывает симметрии, связанные с неполупростыми алгебрами Ли, такими как разрешимые алгебры. Кроме того, для полей положительной характеристики теория групп Вейля усложняется из-за наличия феномена деления на корни и необходимости использования групп Вейля — Шевалле. В квантовых группах и квантовых алгебрах Ли группа Вейля заменяется на квантовую группу Вейля, которая является деформацией обычной группы.

Источники

• Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Главы IV–VI. — М.: Мир, 1972.
• Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений. — М.: МЦНМО, 2003.
• Винберг Э. Б., Онищик А. Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. — М.: УРСС, 2002.
• Кац В. Г. Бесконечномерные алгебры Ли. — М.: Мир, 1993.
• Fulton W., Harris J. Representation Theory: A First Course. — Springer, 1991.