Модули Верма

Модули Верма — это семейство бесконечномерных представлений полупростой алгебры Ли, введённое в математику французским математиком Мишелем Верма в 1966 году. Они играют фундаментальную роль в теории представлений, особенно в контексте категории О, введённой Бернштейном, Гельфандом и Гельфандом. Модули Верма являются ключевым инструментом для изучения структуры неприводимых представлений, их характеров и связей с теорией инвариантов и комбинаторикой.

Определение и конструкция

Пусть 𝔤 — полупростая алгебра Ли над полем ℂ (или алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики). Выберем борелевскую подалгебру 𝔟 ⊂ 𝔤 и картановскую подалгебру 𝔥 ⊂ 𝔟. Разложение алгебры 𝔤 на корневые подпространства относительно 𝔥 задаётся системой корней. Пусть 𝔫 — нильпотентный радикал 𝔟, то есть сумма корневых подпространств для положительных корней. Тогда 𝔟 = 𝔥 ⊕ 𝔫.

Для любого линейного функционала λ ∈ 𝔥* (веса) можно построить одномерное представление ℂ_λ алгебры 𝔟, на котором 𝔥 действует через λ, а 𝔫 — тривиально. Модуль Верма M(λ) определяется как индуцированное представление:

M(λ) = U(𝔤) ⊗_{U(𝔟)} ℂ_λ,

где U(𝔤) — универсальная обёртывающая алгебра. Эквивалентно, M(λ) — это свободный U(𝔫⁻)-модуль ранга 1, где 𝔫⁻ — нильпотентная подалгебра, противоположная 𝔟. В частности, M(λ) бесконечномерен, если 𝔤 не является абелевой.

Свойства

Простота и универсальность

Модуль Верма M(λ) обладает следующими ключевыми свойствами:

• Цикличность: M(λ) порождается одним вектором v_λ (старшим вектором), который аннулируется 𝔫 и является собственным для 𝔥 с весом λ.
• Универсальность: Для любого представления V с весом λ и старшим вектором, аннулируемым 𝔫, существует единственный гомоморфизм M(λ) → V, отображающий v_λ в соответствующий вектор.
• Категория О: M(λ) является объектом категории О — полной подкатегории модулей над U(𝔤), состоящей из конечно порождённых 𝔥-полупростых модулей, на которых действие 𝔫 локально конечно.

Характеры и формула Вейля

Характер модуля Верма M(λ) (формальная сумма весов с кратностями) выражается через формулу Вейля для характеров неприводимых представлений. Точнее, для доминантного веса λ неприводимый модуль L(λ) является фактором M(λ) по максимальному собственному подмодулю, и его характер задаётся формулой:

ch L(λ) = ∑_{w ∈ W} (−1)^{l(w)} e^{w(λ+ρ) − ρ} / ∏_{α ∈ Δ⁺} (1 − e^{−α}),

где W — группа Вейля, l(w) — длина элемента w, ρ — полусумма положительных корней, Δ⁺ — множество положительных корней. Эта формула является следствием точной последовательности модулей Верма, известной как комплекс Бернштейна–Гельфанда–Гельфанда (BGG).

Фильтрация и композиционные ряды

Модули Верма имеют конечную длину в категории О. Их композиционные факторы — это неприводимые модули L(μ) для некоторых весов μ. Множество весов μ, для которых L(μ) входит в композиционный ряд M(λ), описывается порядком Брюа на группе Вейля. В частности, для доминантного λ все подмодули M(λ) также являются модулями Верма, и существует точная последовательность, связывающая M(λ) с модулями для весов, получаемых отражениями относительно простых корней.

Примеры

Алгебра 𝔰𝔩₂(ℂ)

Для алгебры Ли 𝔰𝔩₂(ℂ) с базисом {e, f, h} и коммутационными соотношениями [h, e] = 2e, [h, f] = −2f, [e, f] = h, борелевская подалгебра 𝔟 порождается e и h. Для веса λ ∈ ℂ модуль Верма M(λ) имеет базис {v_k = f^k v_λ | k ≥ 0}, где v_λ — старший вектор. Действие задаётся формулами:

• h·v_k = (λ − 2k) v_k,
• e·v_k = k(λ − k + 1) v_{k−1},
• f·v_k = v_{k+1}.

Если λ — целое неотрицательное число n, то M(n) содержит собственный подмодуль, порождённый вектором v_{n+1}, и фактор по нему даёт (n+1)-мерное неприводимое представление L(n). Если λ не является целым неотрицательным, M(λ) неприводим.

Алгебра 𝔰𝔩₃(ℂ)

Для 𝔰𝔩₃(ℂ) модули Верма более сложны. Пусть α₁, α₂ — простые корни, ρ = (α₁ + α₂)/2. Для доминантного веса λ = (m, n) (в базисе фундаментальных весов) модуль M(λ) имеет композиционный ряд, включающий L(λ) и L(s₁·λ), L(s₂·λ), L(s₁s₂·λ) и т.д., где s_i — отражения относительно простых корней. Граф связей подмодулей задаётся диаграммой Брюа для группы Вейля S₃.

Применения

Категория О

Модули Верма являются основными строительными блоками категории О. Они позволяют классифицировать неприводимые объекты, вычислять их характеры и группы Ext. В частности, точная последовательность BGG даёт резольвенту для неприводимых модулей, что используется для доказательства формулы Вейля.

Теория пересечений и гомологии

Модули Верма связаны с теорией пересечений на многообразиях флагов. Их когомологии и гомологии изучаются с помощью методов алгебраической геометрии, что приводит к связям с теорией Делиня–Люстига и гипотезой Каждана–Люстига.

Квантовые группы

Аналог модулей Верма для квантовых групп (q-деформированных универсальных обёртывающих) строится аналогично. Они играют важную роль в теории представлений квантовых групп и в комбинаторике полиномов Каждана–Люстига.

Критика и ограничения

Несмотря на свою полезность, модули Верма имеют ряд недостатков:

• Они бесконечномерны, что затрудняет явные вычисления для недоминантных весов.
• Для недоминантных весов модули Верма могут быть приводимы, но не обязательно иметь конечную длину в категории О (хотя для полупростых алгебр Ли это так).
• Конструкция зависит от выбора борелевской подалгебры, что может быть неудобно при изучении модулей с разными системами положительных корней.

Тем не менее, модули Верма остаются незаменимым инструментом в теории представлений, особенно в контексте гипотезы Каждана–Люстига, которая описывает мультипликативную структуру характеров неприводимых модулей через полиномы Каждана–Люстига.

Интересные факты

• Мишель Верма ввёл эти модули в своей диссертации 1966 года, работая под руководством Жака Диксмье.
• Модули Верма тесно связаны с теорией инвариантов и когомологиями алгебр Ли.
• Для аффинных алгебр Ли модули Верма обобщаются до модулей Вакомото, используемых в теории вертексных алгебр.

Источники

• Верма, М. (1966). Structure of certain induced representations of complex semisimple Lie algebras. Bulletin of the American Mathematical Society, 72(1), 160–166.
• Диксмье, Ж. (1974). Универсальные обёртывающие алгебры. Москва: Мир.
• Хамфриз, Дж. (1978). Введение в теорию алгебр Ли и их представлений. Москва: МЦНМО.
• Бернштейн, И. Н., Гельфанд, И. М., Гельфанд, С. И. (1973). Категория модулей над алгеброй Ли и её приложения. Успехи математических наук, 28(2), 3–60.