Мотивные когомологии¶

Мотивные когомологии — это теоретико-гомологическая конструкция в алгебраической геометрии, предложенная Александром Гротендиком в 1960-х годах как часть его программы «мотивов». Мотивные когомологии представляют собой универсальную теорию когомологий для алгебраических многообразий, которая должна объединять все известные теории когомологий (такие как когомологии де Рама, этальные когомологии, когомологии с кручением и т. д.) в единую алгебраическую структуру. Основная идея заключается в том, что каждое алгебраическое многообразие порождает «мотив» — некую абстрактную алгебраическую структуру, когомологии которой дают все классические инварианты. Мотивные когомологии являются ключевым инструментом для формулировки и доказательства гипотез Вейля, а также для изучения алгебраических циклов и L-функций.

¶История

¶Предпосылки и программа Гротендика

В 1960-х годах Александр Гротендик, работая над основаниями алгебраической геометрии, осознал, что различные теории когомологий (например, когомологии де Рама, этальные когомологии, когомологии с кручением) дают изоморфные группы для гладких проективных многообразий над полем, но эти изоморфизмы не являются каноническими. Он предложил идею «мотивов» — некоего абстрактного объекта, который бы «универсально» кодировал все когомологические инварианты. Мотивные когомологии должны были стать когомологической теорией, ассоциированной с этим мотивом.

¶Развитие в 1970–1990-х годах

После Гротендика работа над мотивными когомологиями была продолжена многими математиками, включая Стивена Блоха, Спенсера Блоха, Андрея Суслина, Владимира Воеводского и других. В 1990-х годах Воеводский и Суслин разработали теорию «мотивных когомологий» на основе так называемых «мотивных комплексов» — комплексов абелевых групп, построенных из алгебраических циклов. Воеводский, используя эту теорию, доказал гипотезу Милнора о K-теории полей, за что в 2002 году получил Филдсовскую медаль.

¶Современное состояние

На сегодняшний день мотивные когомологии остаются активно развивающейся областью. Они тесно связаны с алгебраической K-теорией, этальными когомологиями, а также с теорией мотивов и гипотезой Бёрча — Свиннертон-Дайера. Основные результаты получены для полей характеристики 0, но существуют обобщения на поля положительной характеристики.

¶Определение и основные понятия

¶Мотивные комплексы

Мотивные когомологии определяются как когомологии некоторого комплекса абелевых групп, называемого «мотивным комплексом». Для гладкого алгебраического многообразия X над полем k, мотивный комплекс \( \mathbb{Z}(n) \) (n — целое число) строится с помощью алгебраических циклов коразмерности n. Группы мотивных когомологий \( H^i(X, \mathbb{Z}(n)) \) — это i-е когомологии этого комплекса.

¶Связь с алгебраической K-теорией

Мотивные когомологии тесно связаны с алгебраической K-теорией. В частности, для гладкого многообразия X существует спектральная последовательность, связывающая группы K-теории и мотивные когомологии. Эта связь позволяет вычислять мотивные когомологии через K-теорию и наоборот.

¶Свойства

• Функториальность: Мотивные когомологии контравариантны по отношению к морфизмам многообразий.
• Гомотопическая инвариантность: Для аффинного пространства \( \mathbb{A}^1 \) мотивные когомологии тривиальны.
• Локализация: Для открытого вложения \( U \subset X \) и замкнутого дополнения \( Z = X \setminus U \) существует длинная точная последовательность.
• Когомологии с кручением: Мотивные когомологии с конечными коэффициентами (например, \( \mathbb{Z}/l \)) связаны с этальными когомологиями.

¶Классификация и виды

¶Мотивные когомологии с целыми коэффициентами

Это наиболее фундаментальный вариант, где коэффициенты — целые числа. Они используются для изучения алгебраических циклов и гипотезы Ходжа.

¶Мотивные когомологии с конечными коэффициентами

Если коэффициенты — конечное поле \( \mathbb{Z}/l \), то мотивные когомологии изоморфны этальным когомологиям (с точностью до некоторых технических условий). Это позволяет использовать мотивные когомологии для изучения l-адических представлений.

¶Мотивные когомологии с рациональными коэффициентами

При работе с рациональными числами мотивные когомологии становятся частью теории мотивов, которая предсказывает существование канонического разложения когомологий на «чистые» части.

¶Применение

¶Гипотезы Вейля

Мотивные когомологии являются ключевым инструментом для доказательства гипотез Вейля, которые были сформулированы Андре Вейлем в 1949 году. Эти гипотезы связывают топологические свойства алгебраических многообразий над конечными полями с их дзета-функциями. Доказательство гипотез Вейля (завершённое Пьером Делинем в 1974 году) использует этальные когомологии, которые являются частным случаем мотивных когомологий.

¶Алгебраические циклы

Мотивные когомологии позволяют формулировать гипотезу Ходжа и гипотезу Тейта в алгебраической геометрии. Эти гипотезы утверждают, что алгебраические циклы (подмногообразия) могут быть классифицированы по своим когомологическим классам.

¶L-функции

Мотивные когомологии используются для построения L-функций, ассоциированных с алгебраическими многообразиями. В частности, гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера для эллиптических кривых может быть переформулирована в терминах мотивных когомологий.

¶Примеры

¶Мотивные когомологии точки

Для точки \( X = \text{Spec}(k) \) мотивные когомологии \( H^i(\text{Spec}(k), \mathbb{Z}(n)) \) тривиальны для \( i \neq 0 \), а \( H^0(\text{Spec}(k), \mathbb{Z}(n)) = 0 \) для \( n \neq 0 \) и \( H^0(\text{Spec}(k), \mathbb{Z}(0)) = \mathbb{Z} \).

¶Мотивные когомологии проективной прямой

Для проективной прямой \( \mathbb{P}^1 \) над полем k мотивные когомологии \( H^i(\mathbb{P}^1, \mathbb{Z}(n)) \) вычисляются через разложение на аффинную часть и точку. В частности, \( H^2(\mathbb{P}^1, \mathbb{Z}(1)) \cong \mathbb{Z} \).

¶Интересные факты

• Мотивные когомологии являются частью более общей теории «мотивов», которая до сих пор не построена в полном объёме. Гротендик считал создание теории мотивов одной из главных задач алгебраической геометрии.
• Владимир Воеводский, один из создателей современной теории мотивных когомологий, получил Филдсовскую медаль в 2002 году за доказательство гипотезы Милнора о K-теории полей, которое опиралось на мотивные когомологии.
• Мотивные когомологии тесно связаны с теорией гомотопий в алгебраической геометрии, в частности с понятием «A1-гомотопической теории», разработанной Воеводским и Фабьеном Морелем.

¶Критика и ограничения

Основная критика мотивных когомологий связана с их сложностью и абстрактностью. Для многих приложений (например, для численных вычислений) они менее удобны, чем классические теории когомологий, такие как этальные когомологии. Кроме того, полная теория мотивных когомологий для полей положительной характеристики до сих пор не построена, что ограничивает её применение в арифметической геометрии.

¶Источники

• Гротендик, А. «Мотивы» (лекции, 1960-е годы).
• Воеводский, В. «Мотивные когомологии» (1990-е годы).
• Блох, С. «Алгебраические циклы и высшие K-теории» (1986).
• Суслин, А. «Мотивные когомологии и K-теория» (1990-е годы).
• Делинь, П. «Доказательство гипотез Вейля» (1974).