Нахождение числа от процента¶
Нахождение числа от процента — математическая операция, заключающаяся в вычислении части целого, заданной в процентах, либо, обратно, нахождении целого по известной части и её проценту. Операция основана на определении процента как сотой доли числа и применяется в финансах, статистике, бухгалтерском учёте и повседневных расчётах.
¶Основные формулы
Процент (от лат. per centum — «на сто») обозначает сотую долю величины. Обозначим:
- $A$ — искомое число (часть);
- $B$ — исходное число (цело);
- $p$ — процент (в числовом виде, например, 15 % = 0,15).
¶Часть от числа (число от процента)
Чтобы найти число, составляющее $p$ процентов от $B$:
$$A = B \times \frac{p}{100} = B \times p_{\text{д}}$$
где $p_{\text{д}}$ — десятичная доля процента (15 % = 0,15).
Пример: найти 15 % от 240. $A = 240 \times 0{,}15 = 36$.
¶Целое по проценту и части
Если известно, что $A$ составляет $p$ процентов от неизвестного числа $B$:
$$B = \frac{A}{p} \times 100 = \frac{A}{p_{\text{д}}}$$
Пример: 36 составляет 15 % от какого числа? $B = 36 \div 0{,}15 = 240$.
¶Процент от числа (выражение части в процентах)
Чтобы выразить $A$ в процентах от $B$:
$$p = \frac{A}{B} \times 100\%$$
Пример: 36 от 240 — сколько процентов? $p = (36 \div 240) \times 100\% = 15\%$.
¶Сводная таблица
| Известно | Искомое | Формула |
|---|---|---|
| $B$ и $p$ % | $A$ | $A = B \cdot p / 100$ |
| $A$ и $p$ % | $B$ | $B = A \cdot 100 / p$ |
| $A$ и $B$ | $p$ % | $p = (A / B) \cdot 100$ |
¶Способы вычисления
¶Умножение на десятичную доль
Наиболее быстрый способ: процент переводится в десятичную дробь (деля на 100) и умножается на число. 20 % = 0,2; 7,5 % = 0,075.
¶Процент от процента
Например, найти 15 % от 20 %: $0{,}15 \times 0{,}2 = 0{,}03$, то есть 3 %.
¶Процентное изменение
Прирост или уменьшение величины на $p$ процентов:
$$B_{\text{нов}} = B \times (1 \pm \frac{p}{100})$$
Пример: число 200 увеличилось на 15 %. $B_{\text{нов}} = 200 \times 1{,}15 = 230$.
¶Обратный процент
Если число уменьшилось на $p$ процентов, чтобы вернуться к исходному значению, нужно увеличить его не на $p$, а на величину
$$p_{\text{обр}} = \frac{p}{100 - p} \times 100\%$$
Пример: число уменьшилось на 20 % (стало 80 % от исходного). Чтобы вернуться к исходному, нужно увеличить на $20 / 80 \times 100\% = 25\%$.
¶Типичные ошибки
- Сложение процентов. Увеличение на 20 % и последующее уменьшение на 20 % не возвращает исходное число: $100 \times 1{,}2 \times 0{,}8 = 96$, а не 100.
- Путаница между «на сколько процентов» и «во сколько раз». Увеличение на 100 % — это удвоение (во 2 раза), на 50 % — увеличение в 1,5 раза.
- Ошибка в определении базы. При последовательных изменениях проценты считаются от новой величины, а не от исходной.
¶Практическое применение
- Финансы: расчёт процентов по вкладам и кредитам, налоги, скидки и наценки.
- Статистика: вычисление долей, индексов, темпов роста.
- Бухгалтерский учёт: начисление амортизации, резервов, НДС.
- Наука и техника: концентрации растворов, содержание примесей, коэффициенты полезного действия.
Для быстрых вычислений используются справочные соотношения: 1 % числа — деление на 100, 10 % — сдвиг запятой на один разряд, 50 % — деление пополам, 25 % — деление на 4.
¶Источники
- Кудрявцев Л. Д. Курс арифметики. — М.: Просвещение.
- Ильин В. А., Калашников В. П. Курс математического анализа. — М.: Юрайт.
- Сборник задач по элементарной математике / под ред. Г. М. Фищенко. — М.: Просвещение.
- ГОСТ 8.417-2002. Единицы измерения величин.