Неравенство Коши — Буняковского

Неравенство Коши — Буняковского — это фундаментальное неравенство линейной алгебры, функционального анализа и теории вероятностей, устанавливающее связь между скалярным произведением двух векторов и произведением их норм. В наиболее общей форме для произвольного внутреннего произведения (скалярного умножения) оно утверждает, что абсолютное значение скалярного произведения не превосходит произведения норм сомножителей. Неравенство является частным случаем более общего неравенства Гёльдера и лежит в основе многих разделов математики, включая теорию рядов Фурье, квантовую механику и математическую статистику.

История

Неравенство было независимо открыто несколькими математиками в XIX — начале XX века. Первоначальная версия для конечных сумм была опубликована французским математиком Огюстеном Луи Коши в 1821 году в его труде «Cours d’Analyse». Коши доказал, что для любых действительных чисел \(a_1, a_2, \dots, a_n\) и \(b_1, b_2, \dots, b_n\) выполняется:

\[ \left( \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \right)^2 \le \left( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right). \]

В 1859 году российский математик Виктор Яковлевич Буняковский обобщил это неравенство на случай интегралов, опубликовав его в монографии «О некоторых неравенствах, относящихся к интегралам». Его формулировка для непрерывных функций \(f(x)\) и \(g(x)\) на отрезке \([a, b]\) имеет вид:

\[ \left( \int_a^b f(x) g(x) \, dx \right)^2 \le \left( \int_a^b f(x)^2 \, dx \right) \left( \int_a^b g(x)^2 \, dx \right). \]

Позднее, в 1885 году, немецкий математик Герман Амандус Шварц независимо переоткрыл интегральную форму неравенства, поэтому в западной литературе оно часто называется неравенством Коши — Шварца. В русскоязычной традиции закрепилось название «неравенство Коши — Буняковского», хотя в некоторых контекстах (особенно в функциональном анализе) используется тройное имя «неравенство Коши — Буняковского — Шварца».

Формулировка

В конечномерном евклидовом пространстве

Пусть \(\mathbf{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n)\) и \(\mathbf{y} = (y_1, y_2, \dots, y_n)\) — два вектора в действительном евклидовом пространстве \(\mathbb{R}^n\) со стандартным скалярным произведением \(\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \sum_{i=1}^n x_i y_i\). Тогда:

\[ |\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle| \le \|\mathbf{x}\| \cdot \|\mathbf{y}\|, \]

где \(\|\mathbf{x}\| = \sqrt{\langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle}\) — евклидова норма. Равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы \(\mathbf{x}\) и \(\mathbf{y}\) линейно зависимы (то есть один является скалярным кратным другого).

В произвольном пространстве со скалярным произведением

Пусть \(V\) — векторное пространство над полем действительных или комплексных чисел, на котором задано скалярное произведение \(\langle \cdot, \cdot \rangle\). Тогда для любых \(u, v \in V\):

\[ |\langle u, v \rangle| \le \|u\| \cdot \|v\|, \]

где \(\|u\| = \sqrt{\langle u, u \rangle}\). В комплексном случае неравенство принимает вид:

\[ |\langle u, v \rangle|^2 \le \langle u, u \rangle \cdot \langle v, v \rangle. \]

Интегральная форма (для функций)

Для вещественнозначных функций \(f\) и \(g\), интегрируемых с квадратом на отрезке \([a, b]\) (то есть принадлежащих пространству \(L^2[a, b]\)), выполняется:

\[ \left( \int_a^b f(x) g(x) \, dx \right)^2 \le \left( \int_a^b f(x)^2 \, dx \right) \left( \int_a^b g(x)^2 \, dx \right). \]

Равенство имеет место, если функции \(f\) и \(g\) пропорциональны почти всюду: \(f(x) = \lambda g(x)\) для некоторой константы \(\lambda\) и почти всех \(x \in [a, b]\).

Доказательство

Классическое доказательство для конечных сумм

Рассмотрим квадратичную функцию от действительной переменной \(t\):

\[ P(t) = \sum_{i=1}^n (a_i t + b_i)^2 = t^2 \sum_{i=1}^n a_i^2 + 2t \sum_{i=1}^n a_i b_i + \sum_{i=1}^n b_i^2. \]

Поскольку \(P(t) \ge 0\) для всех \(t\) (как сумма квадратов), её дискриминант неположителен:

\[ D = \left( 2 \sum_{i=1}^n a_i b_i \right)^2 - 4 \left( \sum_{i=1}^n a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^n b_i^2 \right) \le 0. \]

Отсюда непосредственно следует:

\[ \left( \sum_{i=1}^n a_i b_i \right)^2 \le \left( \sum_{i=1}^n a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^n b_i^2 \right). \]

Доказательство в общем случае

Для произвольного скалярного произведения можно использовать аналогичный приём. Рассмотрим вектор \(u - \lambda v\), где \(\lambda \in \mathbb{C}\). Тогда:

\[ 0 \le \|u - \lambda v\|^2 = \langle u - \lambda v, u - \lambda v \rangle = \|u\|^2 - \lambda \langle v, u \rangle - \overline{\lambda} \langle u, v \rangle + |\lambda|^2 \|v\|^2. \]

Выбирая \(\lambda = \frac{\langle u, v \rangle}{\|v\|^2}\) (при \(v \ne 0\)), получаем:

\[ 0 \le \|u\|^2 - \frac{|\langle u, v \rangle|^2}{\|v\|^2}, \]

что эквивалентно доказываемому неравенству.

Следствия и обобщения

Неравенство треугольника

Из неравенства Коши — Буняковского выводится неравенство треугольника для нормы, порождённой скалярным произведением:

\[ \|u + v\| \le \|u\| + \|v\|. \]

Неравенство Гёльдера

Неравенство Коши — Буняковского является частным случаем неравенства Гёльдера для показателей \(p = q = 2\). В общем виде неравенство Гёльдера утверждает, что для \(p, q > 1\) с \(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1\):

\[ \sum_{i=1}^n |a_i b_i| \le \left( \sum_{i=1}^n |a_i|^p \right)^{1/p} \left( \sum_{i=1}^n |b_i|^q \right)^{1/q}. \]

Неравенство для ковариации

В теории вероятностей, если \(X\) и \(Y\) — случайные величины с конечными вторыми моментами, то:

\[ |\text{Cov}(X, Y)| \le \sqrt{\text{Var}(X) \cdot \text{Var}(Y)}, \]

где \(\text{Cov}\) — ковариация, а \(\text{Var}\) — дисперсия. Это следует из применения неравенства Коши — Буняковского к пространству случайных величин со скалярным произведением \(\langle X, Y \rangle = \mathbb{E}[XY]\).

Применение

В линейной алгебре

Неравенство используется для оценки угла между векторами: \(\cos \theta = \frac{\langle u, v \rangle}{\|u\| \|v\|}\). Оно гарантирует, что \(|\cos \theta| \le 1\), что согласуется с геометрическим смыслом угла.

В функциональном анализе

Неравенство Коши — Буняковского является ключевым при доказательстве полноты пространств \(L^2\) и \(l^2\), а также при построении ортогональных рядов и разложений по базисам.

В квантовой механике

В квантовой механике неравенство лежит в основе соотношения неопределённостей Гейзенберга. Для эрмитовых операторов \(A\) и \(B\) выполняется:

\[ \sigma_A \sigma_B \ge \frac{1}{2} |\langle [A, B] \rangle|, \]

где \(\sigma_A\) и \(\sigma_B\) — среднеквадратичные отклонения, а \([A, B]\) — коммутатор. Доказательство этого соотношения опирается на неравенство Коши — Буняковского.

В математической статистике

Неравенство используется для оценки корреляции между случайными величинами: коэффициент корреляции Пирсона по модулю не превосходит единицы, что следует из неравенства для ковариации.

Интересные факты

• Неравенство Коши — Буняковского является одним из наиболее часто используемых неравенств в математике. По оценкам, оно входит в число десяти самых цитируемых математических результатов.
• В комплексном случае неравенство часто записывают в виде \(|\langle u, v \rangle|^2 \le \langle u, u \rangle \langle v, v \rangle\), что подчёркивает квадратичный характер оценки.
• Существует более 20 различных доказательств неравенства, включая геометрические, алгебраические и аналитические подходы.
• В 2016 году математик Теренс Тао предложил новое элементарное доказательство неравенства Коши — Буняковского, основанное на тождестве Лагранжа.

Источники

• Коши О. Л. «Cours d’Analyse» (1821).
• Буняковский В. Я. «О некоторых неравенствах, относящихся к интегралам» (1859).
• Шварц Г. А. «Über ein die Flächen kleinsten Flächeninhalts betreffendes Problem der Variationsrechnung» (1885).
• Люстерник Л. А., Соболев В. И. «Элементы функционального анализа» (1965).
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. «Элементы теории функций и функционального анализа» (1976).