Неравенство Цирельсона

Неравенство Цирельсона — это математическое неравенство в квантовой теории информации и квантовой физике, устанавливающее верхнюю границу для силы квантовых корреляций, известных как квантовое запутывание. Оно было предложено израильским физиком Борисом Цирельсоном (Цирельсоном) в 1980 году. Неравенство ограничивает максимально возможное значение так называемого параметра CHSH (Clauser-Horne-Shimony-Holt) для квантовых систем, что является ключевым для понимания границ между квантовой и классической механикой.

История

Неравенство Цирельсона было опубликовано в 1980 году в статье «Квантовые обобщения неравенств Белла» в журнале «Letters in Mathematical Physics». Работа опиралась на более ранние исследования Джона Белла, который в 1964 году показал, что любые локальные скрытые переменные (теории, предполагающие, что квантовые явления имеют скрытые, неизвестные причины) приводят к определённым статистическим ограничениям — неравенствам Белла. Эксперименты, однако, демонстрировали нарушения этих неравенств, что подтверждало квантовую механику. Цирельсон поставил вопрос: насколько сильно могут быть нарушены неравенства Белла в рамках квантовой теории? Ответом стало его неравенство, которое установило абсолютный предел для квантовых корреляций, независимо от конкретной физической системы.

Математическая формулировка

Неравенство Цирельсона обычно формулируется в контексте неравенства CHSH, которое является одним из вариантов неравенств Белла. Для двух запутанных частиц, измеряемых в двух различных направлениях (A и A' для первой частицы, B и B' для второй), параметр CHSH определяется как:

\[ S = E(A, B) + E(A, B') + E(A', B) - E(A', B') \]

где \(E(X, Y)\) — среднее значение корреляции между результатами измерений X и Y (обычно принимает значения от -1 до 1). Для классических локальных теорий справедливо неравенство Белла: \(|S| \leq 2\). Квантовая механика, однако, допускает большие значения. Неравенство Цирельсона утверждает, что для любой квантовой системы:

\[ |S| \leq 2\sqrt{2} \approx 2.828 \]

Это максимальное значение достигается, например, для максимально запутанных состояний (таких как состояния Белла) при оптимальном выборе направлений измерений (например, углы 0°, 45°, 90° и 135°).

Доказательство

Цирельсон доказал своё неравенство, используя алгебраические свойства операторов квантовой механики. Ключевой шаг — рассмотрение квадрата оператора \(S\), который в квантовой теории представляется как сумма произведений операторов Паули (или других наблюдаемых). Используя коммутационные соотношения, он показал, что \(\langle S^2 \rangle \leq 8\) для любого квантового состояния, откуда следует \(|\langle S \rangle| \leq 2\sqrt{2}\). Доказательство не зависит от размерности гильбертова пространства, что делает неравенство универсальным для всех квантовых систем.

Физическая интерпретация

Неравенство Цирельсона указывает на фундаментальное ограничение квантовых корреляций. В отличие от классических систем, где корреляции ограничены значением 2, квантовые системы могут достигать 2.828, но не превышать этот предел. Это означает, что квантовая механика не является «суперквантовой» — она не допускает произвольно сильных корреляций, которые могли бы нарушить причинность или другие физические принципы. Некоторые исследователи предполагают, что предел Цирельсона может быть связан с принципом релятивистской причинности (отсутствие сверхсветовой передачи информации) или с более глубокими аксиомами квантовой теории, такими как структура алгебры наблюдаемых.

Обобщения и связанные результаты

Существует несколько обобщений неравенства Цирельсона:

Неравенство Цирельсона для других игр

Параметр CHSH можно рассматривать как выигрыш в так называемой «игре Белла» (CHSH-игре). Неравенство Цирельсона даёт максимальный квантовый выигрыш \( \cos^2(\pi/8) \approx 0.854 \) против классического 0.75. Для более сложных игр (например, с тремя или более участниками) существуют свои квантовые границы, часто называемые обобщёнными неравенствами Цирельсона.

Принцип информационной причинности

В 2009 году было показано, что неравенство Цирельсона может быть выведено из более общего принципа — информационной причинности, который утверждает, что количество информации, доступной одному наблюдателю о данных другого, ограничено объёмом переданных классических битов. Это связывает квантовые корреляции с теорией информации.

Топологическая интерпретация

Некоторые работы связывают неравенство Цирельсона с топологическими свойствами квантовых состояний, например, с числом оборотов (winding number) в фазовом пространстве.

Применение

Неравенство Цирельсона имеет практическое значение в квантовой криптографии и квантовых вычислениях:

• Квантовая криптография: В протоколах квантового распределения ключей (например, E91) нарушение неравенства Белла до предела Цирельсона служит доказательством безопасности канала от перехвата. Если значение S превышает 2, это гарантирует квантовую природу корреляций, а максимальное значение 2.828 указывает на идеальное состояние.
• Квантовые вычисления: Неравенство используется для оценки качества запутанности в квантовых процессорах. Достижение предела Цирельсона в экспериментах с кубитами подтверждает корректную работу квантовых вентилей.
• Тестирование фундаментальных теорий: Эксперименты, нарушающие классическое неравенство Белла, но не превышающие предел Цирельсона, подтверждают квантовую механику и исключают многие альтернативные теории (например, некоторые варианты нелинейной квантовой механики).

Экспериментальная проверка

Неравенство Цирельсона было многократно проверено экспериментально. Первые тесты в 1980-х годах (например, Аспект и др., 1982) показали нарушение неравенства Белла, но не достигли предела 2.828 из-за несовершенства оборудования. Современные эксперименты с фотонами, ионами и сверхпроводящими кубитами (например, в 2015 году группа Хансона в Делфте) демонстрируют значения S, близкие к 2.828, с погрешностью менее 1%. В 2022 году Нобелевская премия по физике была присуждена Алену Аспекту, Джону Клаузеру и Антону Цайлингеру за эксперименты с запутанными фотонами, подтверждающие нарушение неравенств Белла и, соответственно, справедливость неравенства Цирельсона.

Критика и альтернативы

Некоторые исследователи (например, Джой Кристиан) предлагали гипотетические модели, которые могли бы нарушить неравенство Цирельсона, используя нестандартные алгебры (например, октонионы). Однако эти модели не получили экспериментального подтверждения и критикуются за математические ошибки. В рамках стандартной квантовой механики неравенство Цирельсона считается строго доказанным и неопровержимым.

Интересные факты

• Борис Цирельсон (род. 1950) — советский и израильский физик-теоретик, работающий в Тель-Авивском университете. Его работа 1980 года была написана на русском языке и переведена на английский.
• Число \(2\sqrt{2}\) иногда называют «квантовым пределом» или «числом Цирельсона».
• Неравенство Цирельсона является частным случаем более общего принципа — «принципа квантовой границы» (quantum bound), который изучается в рамках теории квантовых игр.

Источники

• Цирельсон Б. С. «Квантовые обобщения неравенств Белла» // Letters in Mathematical Physics. — 1980. — Т. 4, № 2. — С. 93–100.
• Nielsen M. A., Chuang I. L. «Quantum Computation and Quantum Information». — Cambridge University Press, 2000. — Глава 2.
• Scarani V. «The device-independent outlook on quantum physics» // Acta Physica Slovaca. — 2012. — Т. 62, № 4. — С. 347–409.
• Эксперимент Hensen B. et al. «Loophole-free Bell inequality violation using electron spins separated by 1.3 km» // Nature. — 2015. — Т. 526, № 7575. — С. 682–686.