Октонионы

Октонионы — это гиперкомплексная числовая система, представляющая собой восьмимерную алгебру над полем вещественных чисел. Являются расширением кватернионов, но, в отличие от них, теряют свойство ассоциативности умножения, сохраняя при этом свойство альтернативности. Октонионы образуют нормированную алгебру с делением, что делает их одной из четырёх возможных конечномерных нормированных алгебр с делением над вещественными числами (наряду с вещественными числами, комплексными числами и кватернионами), согласно теореме Гурвица.

История

История октонионов начинается с открытия кватернионов ирландским математиком Уильямом Гамильтоном в 1843 году. После этого математики пытались найти дальнейшие обобщения числовых систем. В 1845 году, всего через два года после открытия кватернионов, английский математик Артур Кэли независимо описал восьмимерную алгебру, которую он назвал «октавы» (octaves). Позднее эта система стала известна как октонионы, или числа Кэли. В том же году аналогичные результаты были получены немецким математиком Фердинандом Готтхольдом Максом Айзенштейном, однако его работа не получила широкой известности.

В последующие десятилетия октонионы изучались в основном как математический курьёз. Интерес к ним возродился в XX веке в связи с развитием алгебраической топологии, теории групп Ли и, особенно, теоретической физики. В 1950-х годах была доказана теорема Гурвица, которая установила, что существуют только четыре нормированные алгебры с делением: вещественные числа, комплексные числа, кватернионы и октонионы. Это придало октонионам фундаментальное значение в математике.

Определение и алгебраические свойства

Октонион — это выражение вида:

\[ x = x_0 + x_1 e_1 + x_2 e_2 + x_3 e_3 + x_4 e_4 + x_5 e_5 + x_6 e_6 + x_7 e_7 \]

где \(x_0, x_1, \dots, x_7\) — вещественные числа, а \(e_1, e_2, \dots, e_7\) — мнимые единицы. Сложение октонионов выполняется покомпонентно, а умножение определяется таблицей умножения мнимых единиц, которая является неассоциативной, но альтернативной.

Таблица умножения

Умножение мнимых единиц октонионов можно задать с помощью следующей таблицы (где строки и столбцы соответствуют множителям, а на пересечении — произведение):

Эта таблица демонстрирует, что умножение октонионов не является коммутативным и не является ассоциативным. Например, \((e_1 e_2) e_3 = e_3 e_3 = -1\), но \(e_1 (e_2 e_3) = e_1 e_1 = -1\), что в данном частном случае совпадает, но в общем случае неассоциативность проявляется.

Альтернативность

Октонионы удовлетворяют свойству альтернативности: для любых двух октонионов \(a\) и \(b\) выполняются тождества:

• \((a a) b = a (a b)\)
• \((a b) a = a (b a)\)
• \((b a) a = b (a a)\)

Это более слабое свойство, чем ассоциативность, но оно достаточно для того, чтобы алгебра октонионов была нормированной.

Сопряжение и норма

Для октониона \(x = x_0 + x_1 e_1 + \dots + x_7 e_7\) определяется сопряжённый октонион: \[ \bar{x} = x_0 - x_1 e_1 - \dots - x_7 e_7 \]

Норма октониона определяется как: \[ ||x|| = \sqrt{x \bar{x}} = \sqrt{x_0^2 + x_1^2 + \dots + x_7^2} \]

Норма является мультипликативной: \(||x y|| = ||x|| \cdot ||y||\), что является ключевым свойством нормированных алгебр с делением.

Связь с другими алгебрами

Октонионы являются частью цепочки расширений числовых систем, известной как процесс Кэли-Диксона:

• Вещественные числа \(\mathbb{R}\) (1-мерная алгебра)
• Комплексные числа \(\mathbb{C}\) (2-мерная алгебра)
• Кватернионы \(\mathbb{H}\) (4-мерная алгебра)
• Октонионы \(\mathbb{O}\) (8-мерная алгебра)

При каждом шаге процесса Кэли-Диксона размерность удваивается, но теряются некоторые алгебраические свойства. Для вещественных чисел умножение коммутативно и ассоциативно. Для комплексных чисел умножение коммутативно и ассоциативно. Для кватернионов умножение ассоциативно, но не коммутативно. Для октонионов умножение неассоциативно и некоммутативно, но альтернативно.

Дальнейшее применение процесса Кэли-Диксона к октонионам даёт 16-мерные седенионы, которые уже не являются нормированной алгеброй с делением (в них появляются делители нуля).

Применение

В математике

Октонионы находят применение в различных разделах математики:

• Теория групп Ли: Октонионы связаны с исключительными группами Ли, такими как \(G_2\), \(F_4\), \(E_6\), \(E_7\), \(E_8\). Группа \(G_2\) является группой автоморфизмов алгебры октонионов.
• Алгебраическая топология: Октонионы используются при изучении гомотопических групп сфер и классификации расслоений.
• Проективная геометрия: Октонионы позволяют определить октонионную проективную плоскость \(\mathbb{O}P^2\), которая является примером исключительного симметрического пространства.

В физике

В теоретической физике октонионы привлекают внимание в контексте:

• Теории струн: Октонионы возникают в некоторых моделях компактификации дополнительных измерений, особенно в связи с исключительными группами.
• Супергравитации: Октонионные структуры используются в формулировках супергравитации в 11-мерном пространстве-времени.
• Квантовая механика: Предпринимались попытки использовать октонионы для описания спиноров и внутренних симметрий элементарных частиц, однако эти подходы остаются в значительной степени гипотетическими.

В компьютерных науках

Практическое применение октонионов в вычислениях ограничено из-за их сложности и неассоциативности. Однако они используются в некоторых специализированных областях, таких как:

• Робототехника: Для описания ориентации в пространстве с использованием октонионов, хотя на практике чаще применяются кватернионы.
• Компьютерная графика: Октонионы могут использоваться для интерполяции вращений, но из-за неассоциативности их применение сложнее, чем кватернионов.

Интересные факты

• Октонионы являются единственной нормированной алгеброй с делением, которая не является ассоциативной. Это делает их уникальным объектом в математике.
• Теорема Гурвица (1898) гласит, что существуют только четыре нормированные алгебры с делением над вещественными числами: \(\mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{H}, \mathbb{O}\). Это означает, что дальнейшее расширение (например, седенионы) теряет свойство нормированности.
• Алгебра октонионов тесно связана с исключительной группой Ли \(G_2\), которая является одной из пяти исключительных групп Ли и имеет размерность 14.
• В 2010-х годах появились работы, связывающие октонионы со Стандартной моделью физики элементарных частиц, предполагая, что они могут лежать в основе её математической структуры.

Критика и ограничения

Несмотря на математическую красоту, октонионы имеют ряд недостатков, ограничивающих их практическое применение:

• Неассоциативность: Это делает алгебру октонионов сложной для работы, так как многие привычные алгебраические тождества (например, \((ab)c = a(bc)\)) не выполняются.
• Отсутствие матричного представления: Октонионы не могут быть представлены в виде матриц над вещественными числами с обычным матричным умножением, так как матричное умножение ассоциативно.
• Сложность вычислений: Умножение двух октонионов требует 64 умножения и 56 сложений вещественных чисел (в наивной реализации), что значительно больше, чем для кватернионов (16 умножений и 12 сложений).

В физике октонионы остаются скорее инструментом для теоретических построений, чем практически применимой моделью. Многие физики скептически относятся к попыткам построить на их основе фундаментальные теории, указывая на отсутствие экспериментальных подтверждений.

Источники

• John Baez, "The Octonions", Bulletin of the American Mathematical Society, 2002.
• Arthur Cayley, "On Jacobi's elliptic functions, and on quaternions", Philosophical Magazine, 1845.
• John C. Baez, John Huerta, "The Algebra of Grand Unified Theories", Bulletin of the American Mathematical Society, 2010.
• Гурвиц, А., "О композиции квадратичных форм", Математический сборник, 1898.
• Л. С. Понтрягин, "Непрерывные группы", 1954.