Ноль — понятие, история и применение¶

Ноль — число, обозначающее отсутствие количества, а также разрядная позиция в позиционной системе счисления. В математике ноль играет роль нейтрального элемента сложения: прибавление нуля к любому числу не меняет его. Символ «0» в современном виде пришёл в европейскую математику из индийской традиции через арабскую и латинскую письменность.

¶История

¶Древний мир

Представления об отсутствии количества существовали задолго до появления символа нуля. Вавилонские математики II—I тысячелетий до н. э. использовали специальный штрих-заполнитель в позиционной системе счисления, но не считали его самостоятельным числом. Майя в III—IV веках н. э. применяли в календарной системе обозначение пустого места, близкое по смыслу к нулю.

¶Индия

Систематическое использование нуля как числа и знака позиционной системы счисления сложилось в Индии в V—VII веках н. э. Математик Брахмагупта в 628 году в трактате «Брахмасфутасиддханта» сформулировал правила арифметических операций с нулём, включая деление на ноль. В X веке индийский учёный Махавира уточнил трактовку деления на ноль. Индийский символ нуля — точка или кружок — был описан европейскими путешественниками, в том числе Фибоначчи в «Книге об исчислении» (1202).

¶Распространение

Арабский математик аль-Хорезми в IX веке изложил индийскую систему счисления, что способствовало её распространению на Ближнем Востоке. В Европу ноль попал через Испанию и Италию; в Италии символ «0» употреблялся в коммерческом счёте уже в XIII веке. Сопротивление нулю со стороны части европейских учёных и церковных деятелей было связано с представлением о нуле как о «пустоте» и с опасениями, связанными с алгеброй.

¶Математические свойства

Деление на ноль не определено в стандартной арифметике: предположение a / 0 = b приводит к противоречию, так как b × 0 = 0 ≠ a при a ≠ 0. В вычислительной технике деление на ноль порождает особые значения: в языке IEEE 754 для вещественных чисел результатом деления на ноль считаются плюс и минус бесконечность, а при 0/0 — значение NaN.

¶Ноль в информатике

В двоичной системе счисления, на которой построены современные компьютеры, ноль играет центральную роль: нулевой бит соответствует низкому уровню напряжения, единичный — высокому. Двоичный ноль и единица лежат в основе логических операций, машинного кода и представления данных.

В программировании ноль имеет несколько смыслов: обозначает отсутствие значения (null-указатель), начало массива (индексация с нуля в большинстве языков), логическое «ложь» в языках, где числовые значения участвуют в логических выражениях. Нулевой индекс массива — исторически обусловленное решение, принятое в языках Си и унаследованное большинством последующих языков программирования.

¶Ноль в культуре и символике

Ноль как символ пустоты и начала встречается в философских и религиозных традициях. В буддизме и индуизме понятие «шуньята» (пустота) перекликается с математическим нулём. В европейской культуре ноль долгое время вызывал подозрение: в средневековой арифметике его называли «цифра варваров».

¶Интересные факты

• Ноль был введён в календарь майя независимо от индийской традиции.
• В 1299 году флорентийские власти запретили банкирам использовать арабские цифры, включая ноль, в бухгалтерских книгах, чтобы избежать мошенничества.
• Ноль — единственное число, которое нельзя представить в виде произведения своих делителей.
• В 2009 году ЮНЕСКО объявила 2009 год Международным годом астрономии, отмечавшим 400-летие телескопа Галилея; сам символ нуля стал предметом отдельного культурного исследования — книги Чарльза Сейбла «Ноль: биография опасной идеи».

¶Источники

• Башмаков А. И., Дорофеев Г. Ф. Математика. Учебник для 5 класса.
• Сейбл Ч. Ноль: биография опасной идеи. — М.: Добросвет, 2000.
• Каплан Р. Ноль: как невероятная идея изменила наш мир. — М.: АСТ, 2013.
• Брахмагупта. Брахмасфутасиддханта, 628 г.
• IEEE 754 — стандарт на арифметику с плавающей запятой.