Открыть сервисСервис
Главная → Блог → Нормаль к касательной к кривой

Нормаль к касательной к кривой

Нормаль к касательной — прямая, перпендикулярная касательной к кривой в данной точке и проходящая через точку касания. Термин широко используется в аналитической геометрии, математическом анализе и аналитической механике. В школьном курсе геометрии нормаль к окружности часто определяется как отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности, поскольку радиус всегда перпендикулярен касательной.

Определение и свойства

Касательная к гладкой кривой в точке $M$ — это прямая, имеющая с кривой первое порядка соприкосновения. Нормаль в этой же точке — единственная прямая, перпендикулярная касательной и проходящая через $M$. Для плоской кривой нормаль лежит в той же плоскости, что и касательная; для пространственной кривой нормаль не определена однозначно — в точке существует бесконечное семейство прямых, перпендикулярных касательной (нормальная плоскость).

Ключевые свойства нормали к гладкой кривой:

  • нормаль и касательная в одной точке перпендикулярны друг другу;
  • для выпуклой кривой нормаль, направленная внутрь выпуклости, совпадает с направлением главной нормали в теории пространственных кривых;
  • у прямой нормаль не определена, так как любая прямая перпендикулярна лишь прямым, лежащим в нормальной плоскости.

Нормаль к окружности

Наиболее простой и распространённый случай — нормаль к окружности. Пусть окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$ задана уравнением $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$. Касательная в точке $M(x_0, y_0)$ на окружности имеет уравнение:

$(x_0 - a)(x - a) + (y_0 - b)(y - b) = R^2$

Нормаль в этой же точке — это прямая, проходящая через $O$ и $M$, то есть отрезок радиуса, продолженный при необходимости за точку касания. Уравнение нормали:

$(y_0 - b)(x - a) - (x_0 - a)(y - b) = 0$

Это следует из того, что радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной — классическая теорема евклидовой геометрии.

Нормаль к графику функции

Для графика функции $y = f(x)$ в точке $x_0$, где функция дифференцируема, касательная имеет уравнение:

$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$

Нормаль перпендикулярна ей, поэтому её угловой коэффициент равен $-1 / f'(x_0)$ (при условии $f'(x_0) \neq 0$). Уравнение нормали:

$y - f(x_0) = -\frac{1}{f'(x_0)}(x - x_0)$

Если $f'(x_0) = 0$, касательная горизонтальна, и нормаль становится вертикальной прямой $x = x_0$. Если $f'(x_0)$ не существует (острой угол графика), нормаль не определяется.

Нормальное уравнение прямой

В аналитической геометрии нормальное (каноническое) уравнение прямой записывается в виде:

$x \cos \alpha + y \sin \alpha - p = 0$

где $p$ — расстояние от начала координат до прямой, а $\alpha$ — угол между положительным направлением оси $Ox$ и перпендикуляром, опущенным из начала координат на прямую. Этот перпендикуляр и есть нормаль к прямой из начала координат. Название «нормальное уравнение» подчёркивает роль нормали при построении прямой.

Применение

Нормали к касательным находят применение в различных областях:

  • Компьютерная графика — нормали к поверхностям используются при расчёте освещения (модель Фонга, фотореализм);
  • Дифференциальная геометрия — нормальная плоскость и главные нормали характеризуют изгиб пространственной кривой;
  • Оптика — закон отражения и преломления формулируется через нормаль к поверхности раздела сред;
  • Механика — в задачах о движении по траектории нормальное ускорение направлено по нормали к касательной.

Исторический очерк

Понятие нормали к касательной восходит к работам Пьера де Ферма и Рене Декарта по аналитической геометрии (XVII век). Аппарат нормалей был развит в трудах Готфрида Лейбница и Исаака Ньютона по дифференциальному исчислению. Термин «нормаль» (от латинского normalis — «сделанный по линейке, перпендикулярный») закрепился в математике XVIII века благодаря работам Леонарда Эйлера.

См. также

  • Касательная к кривой
  • Нормальное уравнение прямой
  • Нормальная плоскость
  • Главная нормаль

Источники

Похожие материалы

Заметили ошибку или не согласны с информацией в статье? Напишите нам support@bfometr.ru