Обобщённые средние по Хёльдеру

Обобщённое среднее по Хёльдеру (также известное как степенное среднее) — это семейство функций, обобщающих различные виды средних величин (арифметическое, геометрическое, квадратическое и гармоническое) с помощью единого параметра — степени. Введено в математический анализ немецким математиком Отто Хёльдером в конце XIX века.

Определение

Пусть заданы положительные числа \(x_1, x_2, \dots, x_n\) и действительное число \(p \neq 0\). Обобщённое среднее по Хёльдеру степени \(p\) определяется формулой:

\[ M_p(x_1, \dots, x_n) = \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i^p \right)^{1/p} \]

Для \(p = 0\) среднее определяется как предел при \(p \to 0\), который равен геометрическому среднему:

\[ M_0(x_1, \dots, x_n) = \left( \prod_{i=1}^{n} x_i \right)^{1/n} \]

Для \(p = +\infty\) и \(p = -\infty\) средние определяются как предельные случаи:

\[ M_{+\infty}(x_1, \dots, x_n) = \max(x_1, \dots, x_n) \] \[ M_{-\infty}(x_1, \dots, x_n) = \min(x_1, \dots, x_n) \]

Частные случаи

Различные значения параметра \(p\) дают известные виды средних:

Свойства

Монотонность по параметру \(p\)

Для фиксированного набора положительных чисел функция \(M_p\) является непрерывной и строго возрастающей по \(p\) (если числа не все равны). Это означает, что:

\[ p < q \implies M_p \leq M_q \]

Равенство достигается только в случае, когда все \(x_i\) равны между собой. Это свойство называется неравенством о средних по Хёльдеру и является одним из фундаментальных результатов теории средних.

Однородность

Для любого положительного числа \(t\):

\[ M_p(tx_1, \dots, tx_n) = t \cdot M_p(x_1, \dots, x_n) \]

Симметричность

Функция симметрична относительно перестановки аргументов: значение не зависит от порядка чисел.

Непрерывность

\(M_p\) является непрерывной функцией как по аргументам, так и по параметру \(p\) (включая предельные случаи \(p=0, \pm\infty\)).

Связь с неравенством Гёльдера

Название «среднее по Хёльдеру» связано с неравенством Гёльдера, которое используется для доказательства монотонности: для \(p < q\) выполняется:

\[ \left( \frac{1}{n} \sum x_i^p \right)^{1/p} \leq \left( \frac{1}{n} \sum x_i^q \right)^{1/q} \]

Обобщения

Взвешенное среднее по Хёльдеру

Если заданы веса \(w_i > 0\) с \(\sum w_i = 1\), то взвешенное обобщённое средное определяется как:

\[ M_p(x_1, \dots, x_n; w_1, \dots, w_n) = \left( \sum_{i=1}^{n} w_i x_i^p \right)^{1/p} \]

Для \(p=0\) — взвешенное геометрическое среднее: \(\prod x_i^{w_i}\).

Среднее по Хёльдеру для произвольного распределения

Для непрерывного распределения с плотностью \(f(x)\) на интервале \([a,b]\) среднее степени \(p\) определяется как:

\[ M_p = \left( \int_a^b x^p f(x) \, dx \right)^{1/p} \]

Квази-средние

Обобщением являются квази-средние (или средние по Колмогорову), где вместо степенной функции используется произвольная строго монотонная функция \(\varphi\):

\[ M_\varphi(x_1, \dots, x_n) = \varphi^{-1}\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \varphi(x_i) \right) \]

Средние по Хёльдеру являются частным случаем при \(\varphi(x) = x^p\) (для \(p \neq 0\)) и \(\varphi(x) = \ln x\) (для \(p=0\)).

Применение

Статистика и обработка данных

• Арифметическое среднее (\(p=1\)) — стандартная мера центральной тенденции для симметричных распределений.
• Среднеквадратическое (\(p=2\)) — используется в физике (среднеквадратичная скорость молекул), в теории ошибок (среднеквадратичное отклонение).
• Гармоническое среднее (\(p=-1\)) — применяется для усреднения скоростей, плотностей, и других величин, обратно пропорциональных.
• Геометрическое среднее (\(p=0\)) — для темпов роста, процентных ставок, индексов цен.

Экономика и финансы

• Среднее геометрическое используется для расчёта средней доходности инвестиций за несколько периодов.
• Среднее гармоническое — для среднего курса валют при конвертации.

Физика

• Среднеквадратическое значение — в электротехнике (действующее значение переменного тока), в термодинамике (средняя кинетическая энергия молекул).

Теория информации

• Обобщённые средние применяются в энтропии Реньи, где параметр \(p\) играет роль порядка.

Интересные факты

• Неравенство между средними по Хёльдеру является частным случаем более общего неравенства Йенсена.
• Для \(p=2\) среднее по Хёльдеру совпадает с евклидовой нормой вектора, делённой на \(\sqrt{n}\).
• В русскоязычной литературе термин «среднее по Хёльдеру» иногда заменяют на «степенное среднее» или «среднее степенное».
• Отто Хёльдер (1859–1937) — немецкий математик, известный также неравенством Гёльдера и теоремой Жордана — Гёльдера в теории групп.

Критика и ограничения

• Средние по Хёльдеру определены только для положительных чисел (при нецелых \(p\) отрицательные числа дают комплексные значения).
• При \(p > 0\) среднее чувствительно к большим значениям, при \(p < 0\) — к малым.
• Для несимметричных распределений арифметическое среднее может быть ненадёжной мерой центральной тенденции (например, при наличии выбросов).

Источники

• Хёльдер О. «Beiträge zur Potentialtheorie» (1882)
• Харди Г. Г., Литтлвуд Дж. И., Полиа Г. «Неравенства» (1934, рус. пер. 1948)
• Фихтенгольц Г. М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления» (том 1, 1969)
• Булдырев В. С., Павлов Б. С. «Математический анализ в задачах» (2005)