Среднее по Хёльдеру

Среднее по Хёльдеру — это обобщённое понятие среднего значения нескольких положительных чисел, которое включает в себя частные случаи среднего арифметического, геометрического, квадратического и гармонического. Определяется как функция от набора чисел и параметра (степени), задающего вид среднего. Предложено немецким математиком Отто Хёльдером в конце XIX века.

Определение

Пусть задан набор положительных чисел \( x_1, x_2, \dots, x_n \) и действительное число \( p \neq 0 \). Среднее по Хёльдеру (или степенное среднее) степени \( p \) определяется по формуле:

\[ M_p(x_1, x_2, \dots, x_n) = \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i^p \right)^{\frac{1}{p}}. \]

Для \( p = 0 \) среднее определяется как предел при \( p \to 0 \), который равен среднему геометрическому:

\[ M_0(x_1, x_2, \dots, x_n) = \left( \prod_{i=1}^{n} x_i \right)^{\frac{1}{n}}. \]

Для \( p = +\infty \) и \( p = -\infty \) среднее определяется как предел, который равен соответственно максимуму и минимуму набора чисел:

\[ M_{+\infty}(x_1, x_2, \dots, x_n) = \max(x_1, x_2, \dots, x_n), \] \[ M_{-\infty}(x_1, x_2, \dots, x_n) = \min(x_1, x_2, \dots, x_n). \]

Частные случаи

В зависимости от значения параметра \( p \) среднее по Хёльдеру принимает вид известных средних величин:

Свойства

Среднее по Хёльдеру обладает рядом важных свойств, которые делают его удобным инструментом в математическом анализе и статистике.

Монотонность по параметру \( p \)

Для фиксированного набора положительных чисел функция \( M_p \) является неубывающей по \( p \). То есть, если \( p < q \), то \( M_p \leq M_q \). Равенство достигается только в случае, когда все числа равны. Это свойство позволяет упорядочивать различные средние: например, для любого набора чисел среднее гармоническое не превосходит среднее геометрическое, которое, в свою очередь, не превосходит среднее арифметическое, а среднее арифметическое — среднее квадратическое.

Однородность

Среднее по Хёльдеру является однородной функцией первой степени: для любого положительного числа \( \lambda \) выполняется:

\[ M_p(\lambda x_1, \lambda x_2, \dots, \lambda x_n) = \lambda M_p(x_1, x_2, \dots, x_n). \]

Инвариантность относительно перестановок

Значение среднего не зависит от порядка перечисления чисел (симметричность).

Сходимость к экстремальным значениям

При \( p \to +\infty \) среднее по Хёльдеру стремится к максимальному числу в наборе, а при \( p \to -\infty \) — к минимальному.

Неравенство Йенсена

Среднее по Хёльдеру связано с выпуклостью функции \( x^p \). Для \( p > 1 \) функция \( x^p \) выпукла, поэтому среднее по Хёльдеру степени \( p \) удовлетворяет неравенству Йенсена.

Обобщения

Взвешенное среднее по Хёльдеру

Если каждому числу \( x_i \) приписать положительный вес \( w_i \), то взвешенное среднее по Хёльдеру степени \( p \) определяется как:

\[ M_p(x_1, \dots, x_n; w_1, \dots, w_n) = \left( \frac{ \sum_{i=1}^{n} w_i x_i^p }{ \sum_{i=1}^{n} w_i } \right)^{\frac{1}{p}}. \]

При \( p = 0 \) это выражение переходит во взвешенное среднее геометрическое:

\[ M_0 = \left( \prod_{i=1}^{n} x_i^{w_i} \right)^{\frac{1}{\sum w_i}}. \]

Среднее по Хёльдеру для функций

В функциональном анализе среднее по Хёльдеру обобщается на интегралы. Для положительной функции \( f(x) \) на отрезке \( [a, b] \) среднее степени \( p \) определяется как:

\[ M_p(f) = \left( \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)^p \, dx \right)^{\frac{1}{p}}. \]

При \( p \to 0 \) получается геометрическое среднее функции:

\[ M_0(f) = \exp\left( \frac{1}{b-a} \int_a^b \ln f(x) \, dx \right). \]

Квази-средние

Среднее по Хёльдеру является частным случаем более общего понятия — квази-среднего (или среднего по Колмогорову). Если \( \varphi \) — строго монотонная непрерывная функция, то квази-среднее определяется как:

\[ M_\varphi(x_1, \dots, x_n) = \varphi^{-1}\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \varphi(x_i) \right). \]

Для среднего по Хёльдеру \( \varphi(x) = x^p \) при \( p \neq 0 \) и \( \varphi(x) = \ln x \) при \( p = 0 \).

Применение

Среднее по Хёльдеру используется в различных областях:

• Статистика и обработка данных: для вычисления обобщённых средних, особенно при анализе данных с выбросами. Например, среднее квадратическое применяется в физике для расчёта среднеквадратичного отклонения, а среднее гармоническое — в задачах, связанных со скоростями и сопротивлениями.
• Экономика: для расчёта индексов цен и объёмов (например, индекс Фишера является средним геометрическим индексов Ласпейреса и Пааше).
• Теория информации: в задачах энтропии и кодирования.
• Математическая физика: при решении задач, связанных с усреднением величин, зависящих от параметра.
• Машинное обучение: в некоторых алгоритмах агрегации предсказаний (например, ансамблевые методы).

Примеры

1. Для набора чисел \( \{1, 2, 4\} \):

• Среднее арифметическое (\( p=1 \)): \( (1+2+4)/3 \approx 2.333 \).
• Среднее геометрическое (\( p=0 \)): \( \sqrt[3]{1 \cdot 2 \cdot 4} = \sqrt[3]{8} = 2 \).
• Среднее гармоническое (\( p=-1 \)): \( 3 / (1/1 + 1/2 + 1/4) = 3 / 1.75 \approx 1.714 \).
• Среднее квадратическое (\( p=2 \)): \( \sqrt{(1^2+2^2+4^2)/3} = \sqrt{21/3} = \sqrt{7} \approx 2.646 \).

1. Для набора \( \{10, 100, 1000\} \):

• Среднее арифметическое: \( (10+100+1000)/3 \approx 370 \).
• Среднее геометрическое: \( \sqrt[3]{10 \cdot 100 \cdot 1000} = \sqrt[3]{10^6} = 100 \).
• Среднее гармоническое: \( 3 / (0.1 + 0.01 + 0.001) = 3 / 0.111 \approx 27.027 \).

История

Понятие степенного среднего было введено немецким математиком Отто Хёльдером (1859–1937) в 1889 году в работе, посвящённой обобщению неравенств между средними. Хёльдер известен также неравенством Гёльдера (часто записываемого как неравенство Хёльдера), которое является фундаментальным в функциональном анализе. В русскоязычной литературе название «среднее по Хёльдеру» иногда заменяется на «степенное среднее» или «среднее степени \( p \)».

Критика и ограничения

Среднее по Хёльдеру определено только для положительных чисел (или, в некоторых обобщениях, для неотрицательных). Для отрицательных чисел возведение в нецелую степень может давать комплексные значения, что ограничивает применимость. Кроме того, при \( p < 0 \) среднее чувствительно к малым значениям: если хотя бы одно число близко к нулю, среднее может стать очень малым или даже нулевым.

Источники

• Хёльдер О. «Об одном обобщении среднего арифметического» (1889).
• Харди Г. Г., Литтлвуд Дж. И., Полиа Г. «Неравенства» (1934, русский перевод 1948).
• Фихтенгольц Г. М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления», том 1.
• Корн Г., Корн Т. «Справочник по математике для научных работников и инженеров».