Огюстен Луи Лежандр

Огюстен Луи Лежандр (фр. Adrien-Marie Legendre, 18 сентября 1752, Париж — 10 января 1833, там же) — французский математик, член Парижской академии наук (1783), иностранный почётный член Петербургской академии наук (1806). Внёс фундаментальный вклад в теорию чисел, математический анализ, теорию эллиптических интегралов, дифференциальную геометрию и теорию функций. Его имя носят ряд математических объектов: полиномы Лежандра, символ Лежандра, преобразование Лежандра, функция Лежандра и другие.

Биография

Ранние годы и образование

Огюстен Луи Лежандр родился 18 сентября 1752 года в Париже в семье состоятельного торговца. Получил начальное образование в коллеже Мазарини, где проявил выдающиеся способности к математике. В 1770 году окончил коллеж со степенью магистра искусств. Несмотря на интерес к науке, по настоянию семьи первоначально готовился к карьере священника, однако вскоре оставил эту идею и полностью посвятил себя математике.

Научная карьера

В 1775 году Лежандр начал преподавать математику в Военной школе в Париже, где среди его учеников был, в частности, будущий император Наполеон Бонапарт. В 1782 году представил в Академию наук мемуар «Исследования о притяжении сфероидов», за который был удостоен премии и в 1783 году избран членом Академии.

В 1787 году Лежандр участвовал в работе англо-французской комиссии по измерению градуса меридиана, связывающего Данкерк и Барселону, что привело к установлению эталона метра. Эта работа легла в основу его труда «О десятичной системе мер» (1791).

В 1794 году Лежандр опубликовал свой самый известный учебник — «Начала геометрии» (Éléments de géométrie), который на протяжении десятилетий служил основным учебным пособием по геометрии во Франции и других странах. В этой книге он существенно переработал и упростил изложение «Начал» Евклида, стремясь сделать геометрию более логичной и доступной.

В 1799 году Лежандр опубликовал свой главный труд по теории чисел — «Опыт теории чисел» (Essai sur la théorie des nombres), который впоследствии неоднократно переиздавался и дополнялся. В 1808 году вышло второе, значительно расширенное издание, а в 1830 году — третье, ставшее классическим.

В 1813 году Лежандр сменил Лагранжа на посту профессора математики в Политехнической школе, где проработал до 1816 года. В 1824 году, после реставрации Бурбонов, Лежандр, как и многие другие учёные, отказался голосовать за правительственного кандидата в Академию, за что был лишён пенсии. Последние годы жизни он провёл в бедности, продолжая научную работу.

Последние годы и смерть

В 1830 году Лежандр опубликовал третий том своего фундаментального труда «Трактат о функциях и эллиптических интегралах» (Traité des fonctions et des intégrales elliptiques), завершив многолетнюю работу. Он скончался 10 января 1833 года в Париже после продолжительной болезни. Похоронен на кладбище Пер-Лашез.

Научные достижения

Теория чисел

Лежандр внёс основополагающий вклад в теорию чисел. В 1785 году он сформулировал закон квадратичной взаимности — одну из важнейших теорем теории чисел, хотя полное доказательство было дано позже Гауссом. Для формулировки этого закона Лежандр ввёл так называемый символ Лежандра — функцию, обозначаемую как (a/p), которая принимает значения 1, -1 или 0 в зависимости от того, является ли a квадратичным вычетом по модулю простого числа p.

В 1798 году Лежандр высказал гипотезу о распределении простых чисел, известную как теорема о распределении простых чисел. Он предположил, что количество простых чисел, не превосходящих x, приблизительно равно x/ln(x). Эта гипотеза была доказана лишь в 1896 году Адамаром и де ла Валле-Пуссеном.

Лежандр также доказал теорему о том, что любое нечётное число является суммой трёх квадратов (теорема Лежандра о трёх квадратах), и внёс вклад в теорию диофантовых уравнений.

Математический анализ

В области математического анализа Лежандр известен прежде всего работами по эллиптическим интегралам. Он посвятил более 40 лет изучению этих интегралов, систематизировал их и свёл к трём стандартным формам (эллиптические интегралы первого, второго и третьего рода). В 1825-1830 годах опубликовал трёхтомный «Трактат о функциях и эллиптических интегралах», который стал классическим трудом в этой области.

Важнейшим вкладом Лежандра в анализ является преобразование Лежандра — математическая операция, позволяющая переходить от одной функции к другой, сопряжённой по Лежандру. Это преобразование широко используется в вариационном исчислении, теоретической механике, термодинамике и теории оптимизации.

Полиномы Лежандра

В 1784 году Лежандр ввёл в рассмотрение полиномы Лежандра — ортогональные многочлены, являющиеся решениями дифференциального уравнения Лежандра. Эти полиномы играют важную роль в математической физике, в частности, при решении уравнения Лапласа в сферических координатах, в теории потенциала и в квантовой механике. Полиномы Лежандра обозначаются как P_n(x) и обладают свойством ортогональности на отрезке [-1, 1].

Дифференциальная геометрия

В 1787 году Лежандр опубликовал работу «Исследования о притяжении сфероидов», в которой заложил основы теории потенциала и сферических гармоник. Он также внёс вклад в дифференциальную геометрию, изучая свойства кривых и поверхностей. В 1794 году в «Началах геометрии» он дал первое доказательство того, что число π иррационально.

Прикладная математика

Лежандр активно занимался вопросами прикладной математики, в частности, методом наименьших квадратов. В 1805 году он опубликовал работу «Новые методы определения орбит комет», в которой впервые чётко сформулировал и обосновал метод наименьших квадратов для обработки результатов наблюдений. Хотя Гаусс утверждал, что использовал этот метод ранее, публикация Лежандра была первой.

Основные труды

• «Исследования о притяжении сфероидов» (1785)
• «Начала геометрии» (Éléments de géométrie, 1794)
• «Опыт теории чисел» (Essai sur la théorie des nombres, 1798; 2-е изд. 1808; 3-е изд. 1830)
• «Новые методы определения орбит комет» (1805)
• «Трактат о функциях и эллиптических интегралах» (Traité des fonctions et des intégrales elliptiques, 1825-1830, 3 тома)

Наследие и признание

Лежандр считается одним из величайших математиков XVIII-XIX веков. Его работы оказали огромное влияние на развитие математики. В его честь названы:

• Полиномы Лежандра
• Символ Лежандра
• Преобразование Лежандра
• Функция Лежандра
• Постоянная Лежандра (в теории распределения простых чисел)
• Гипотеза Лежандра (о том, что между n² и (n+1)² всегда есть простое число)
• Кратер Лежандр на Луне
• Астероид (26950) Лежандр

Имя Лежандра высечено на Эйфелевой башне в числе 72 имён выдающихся французских учёных.

Критика

В научной среде отмечается, что Лежандр, будучи выдающимся систематизатором и популяризатором, иногда уступал в глубине и оригинальности идей своим современникам — Гауссу, Лагранжу и Коши. Некоторые его результаты (например, закон квадратичной взаимности и метод наименьших квадратов) были впоследствии более строго обоснованы другими математиками. Тем не менее, его роль в развитии математики признаётся фундаментальной.

Источники

• Бурбаки Н. Очерки по истории математики. — М.: Иностранная литература, 1963.
• Глейзер Г. И. История математики в школе. — М.: Просвещение, 1964.
• Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. — М.: Наука, 1989.
• Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики. — М.: Наука, 1990.
• Математический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия, 1988.
• Dictionary of Scientific Biography. — New York: Charles Scribner's Sons, 1973.