Относительная погрешность измерения¶
Относительная погрешность — характеристика точности измерения или приближённого вычисления, выражающая погрешность в долях или процентах от истинного (действительного) значения измеряемой величины. В отличие от абсолютной погрешности, которая имеет ту же размерность, что и сама величина, относительная погрешность является безразмерной или выражается в процентах, что позволяет сравнивать точность измерений разных величин между собой.
¶Определение и основные соотношения
Если обозначить истинное значение величины через \(x_0\), а результат измерения через \(x\), то абсолютная погрешность определяется как \(\Delta x = |x - x_0|\). Относительная погрешность \(\delta\) вычисляется по формуле:
\[ \delta = \frac{\Delta x}{|x_0|} \]
На практике истинное значение обычно неизвестно, поэтому в знаменателе используют либо результат измерения \(x\), либо его среднее значение. Тогда говорят о так называемой «приведённой» или практической относительной погрешности. При выражении в процентах результат умножают на 100 %.
Различают также приведённую погрешность — отношение абсолютной погрешности к некоторому нормирующему значению (например, к верхнему пределу шкалы прибора). Приведённая погрешность применяется при нормировании класса точности средств измерений.
¶Связь с абсолютной погрешностью
Абсолютная и относительная погрешности связаны напрямую: при фиксированной абсолютной погрешности относительная тем меньше, чем больше измеряемая величина. Это означает, что один и тот же прибор при измерении малых значений даёт бо́льшую относительную погрешность, чем при измерении больших. Данное обстоятельство важно учитывать при выборе диапазона измерений: если величина близка к нулю, относительная погрешность может стать сколь угодно большой.
¶Классификация погрешностей
По происхождению погрешности делят на несколько видов:
- Систематические — сохраняются постоянными или закономерно изменяются при повторных измерениях; могут быть частично устранены введением поправок.
- Случайные — изменяются непредсказуемо, оцениваются методами математической статистики.
- Грубые (промахи) — существенно превышают ожидаемую погрешность, обычно связаны с ошибкой оператора или сбоем прибора.
По способу выражения погрешности делят на абсолютные, относительные и приведённые. Относительная погрешность удобна тем, что даёт единую меру точности независимо от масштаба величины.
¶Оценка при косвенных измерениях
Если искомая величина \(y\) вычисляется через другие измеряемые величины \(x_1, x_2, \dots, x_n\) по формуле \(y = f(x_1, \dots, x_n)\), то относительная погрешность результата оценивается через частные производные:
\[ \delta_y \approx \sum_{i=1}^{n} \left| \frac{\partial \ln f}{\partial x_i} \right| \Delta x_i \]
Для простейших случаев действуют удобные правила. При сложении и вычитании складываются абсолютные погрешности; при умножении и делении — относительные; при возведении в степень \(k\) относительная погрешность увеличивается в \(k\) раз. Эти правила широко применяются в лабораторной практике и инженерных расчётах.
¶Классы точности приборов
Для средств измерений нормируется класс точности, который выражается через пределы допускаемой основной погрешности. Например, класс точности 1,0 означает, что приведённая погрешность прибора не превышает 1 % от нормирующего значения. Классы точности устанавливаются стандартами и позволяют потребителю заранее оценить, какую относительную погрешность даст прибор в рабочем диапазоне.
¶Применение
Относительная погрешность используется повсеместно:
- в метрологии — при аттестации методик и средств измерений;
- в физике и химии — при обработке результатов экспериментов;
- в инженерии — при расчётах допусков и посадок;
- в экономике и статистике — при оценке достоверности прогнозов и выборочных данных;
- в вычислительной математике — при анализе устойчивости алгоритмов.
В вычислительной математике отдельно выделяют машинную относительную погрешность (эпсилон), характеризующую предельную точность представления чисел с плавающей запятой в компьютере. Для чисел двойной точности стандарта IEEE 754 она составляет примерно \(2{,}2 \times 10^{-16}\).
¶Примеры
Если длина отрезка измерена как 100 см с абсолютной погрешностью 1 см, относительная погрешность равна 1 %. Если же тем же прибором измерен отрезок 2 см с той же абсолютной погрешностью 1 см, относительная погрешность составит уже 50 %, что делает результат практически бесполезным.
При взвешивании тела массой 500 г на весах с абсолютной погрешностью 0,5 г относительная погрешность равна 0,1 %. Это приемлемо для большинства задач, тогда как для взвешивания пробы массой 5 мг та же абсолютная погрешность дала бы 10 %.
¶Типичные заблуждения
Распространено мнение, что малая абсолютная погрешность автоматически означает высокую точность. Это неверно: точность определяется именно относительной погрешностью. Также ошибочно считать, что увеличение числа измерений всегда снижает относительную погрешность — усреднение уменьшает случайную составляющую, но не устраняет систематическую.