Параллелепипед — объёмный прямоугольник¶

Параллелепипед — это объёмная фигура (многогранник), которая относится к классу призм: она образована параллельным смещением (переносом) плоского прямоугольника вдоль направления, не лежащего в его плоскости. В школьной геометрии именно так и определяется объёмный прямоугольник — как трёхмерная фигура, у которой все шесть граней являются параллелограммами, а противоположные грани попарно параллельны и равны. Термин происходит от греческих слов «параллелос» (параллельный) и «пипедон» (основание).

¶Определение и основные свойства

Параллелепипед обладает следующими характеристиками:

• Вершины — 8 штук;
• Рёбра — 12 штук, разделённые на 3 группы по 4 параллельных ребра в каждой;
• Грани — 6 штук, попарно параллельных и равных;
• Диагонали — 4 пространственные, пересекающиеся в одной точке (центре симметрии фигуры).

Точка пересечения диагоналей параллелепипеда делит каждую из них пополам. Это свойство отличает параллелепипед от произвольного шестигранника и делает его фигурой с центром симметрии.

¶Виды параллелепипедов

По характеру граней параллелепипеды делятся на несколько видов:

¶Прямоугольный параллелепипед

Наиболее распространённый вид, при котором все грани являются прямоугольниками. Такую фигуру чаще всего и имеют в виду под «объёмным прямоугольником». Прямоугольный параллелепипед также называют кубоидом. Его рёбра попарно перпендикулярны, а длины обозначают через a, b и c.

¶Куб

Частный случай прямоугольного параллелепипеда, у которого все рёбра равны (a = b = c), а все грани — квадраты. Куб является правильным многогранником.

¶Наклонный параллелепипед

Такой параллелепипед имеет хотя бы одну грань-параллелограмм, не являющуюся прямоугольником, и боковые грани, наклонённые к основанию.

¶Ромбический параллелепипед

Все грани — ромбы. Классический пример — так называемый «алмазный» (или «шестиугольный» по форме сечения) параллелепипед, который встречается в кристаллографии.

¶Формулы

Для прямоугольного параллелепипеда с рёбрами a, b, c:

• Объём: V = a · b · c (произведение трёх измерений);
• Площадь поверхности: S = 2(ab + bc + ac);
• Длина диагонали: d = √(a² + b² + c²).

Для произвольного параллелепипеда объём вычисляется как произведение площади основания на высоту: V = S_осн · h. Высота — это расстояние между плоскостями оснований, измеренное по перпендикуляру.

¶Построение и изображение

На плоскости параллелепипед изображают в виде объёмной фигуры с применением аксонометрической проекции. Обычно невидимые рёбра показывают пунктиром. Для построения прямоугольного параллелепипеда чертят два одинаковых прямоугольника (переднюю и заднюю грани) и соединяют их соответствующие вершины параллельными отрезками.

¶Применение

Параллелепипед — базовая фигура стереометрии, на примере которой вводятся понятия объёма и площади поверхности многогранников. Понятие прямоугольного параллелепипеда широко используется:

• в математике — при решении задач на объём и площадь, изучении координат в пространстве, введении декартовой системы координат (координатная плоскость ограничена прямоугольным параллелепипедом);
• в физике — для расчёта объёма тел, плотности, давления;
• в технике и строительстве — большинство строительных блоков, кирпичей, контейнеров, шкафов и корпусов оборудования имеют форму прямоугольного параллелепипеда;
• в компьютерной графике — фигура используется как базовый примитив (bounding box) для определения границ объектов при трассировке лучей и обработке сцены;
• в кристаллографии — понятие элементарной ячейки кристаллической решётки связано с параллелепипедом.

¶Элементарная ячейка в кристаллографии

В кристаллографии элементарной ячейкой называют наименьший объёмный параллелепипед, повторением которого в трёх направлениях можно заполнить всё пространство кристалла. По форме ячейки различают кубическую, тетрагональную, гексагональную и другие сингонии кристаллов.

¶Интересные факты

• Теорема о том, что объём параллелепипеда, построенного на трёх векторах, равен модулю их смешанного произведения, — одно из ключевых следствий линейной алгебры.
• Параллелепипед — единственная фигура, которой можно заменить произвольный объём при приближённом вычислении интеграла (метод прямоугольников в трёхмерном случае).

Источники:

• «Геометрия. 7–9 классы» под редакцией Л. С. Атанасяна
• «Математика. 10–11 классы» под редакцией А. Н. Колмогорова
• Энциклопедический словарь школьника
• Краткий математический словарь (ГРАНТ)