Первообразная функция: нахождение и свойства¶
Первообразная функция — это функция F(x), производная которой равна исходной функции f(x) на некотором промежутке. Другими словами, если F′(x) = f(x), то F(x) называется первообразной для f(x). Задача нахождения первообразной является обратной к дифференцированию и составляет основу интегрального исчисления.
¶Определение и обозначение
Пусть функция f(x) определена на промежутке I. Функция F(x) называется первообразной f(x) на этом промежутке, если для любого x ∈ I выполняется равенство F′(x) = f(x).
Все первообразные одной и той же функции отличаются друг от друга на постоянную величину. Следовательно, если F(x) — одна из первообразных, то общая форма всех остальных записывается как F(x) + C, где C — произвольная постоянная. Для обозначения множества всех первообразных используется интеграл:
∫f(x) dx = F(x) + C
Здесь ∫f(x) dx — неопределённый интеграл, а C называется постоянной интегрирования.
¶Таблица основных первообразных
Нахождение первообразных опирается на таблицу базовых соотношений, полученных из таблицы производных путём обращения:
| Функция f(x) | Первообразная ∫f(x) dx | ||
|---|---|---|---|
| xⁿ (n ≠ −1) | xⁿ⁺¹/(n+1) + C | ||
| 1/x | ln\ | x\ | + C |
| eˣ | eˣ + C | ||
| aˣ | aˣ/ln a + C | ||
| sin x | −cos x + C | ||
| cos x | sin x + C | ||
| 1/cos²x | tg x + C | ||
| 1/sin²x | −ctg x + C | ||
| 1/√(1−x²) | arcsin x + C | ||
| 1/(1+x²) | arctg x + C | ||
| sh x | ch x + C | ||
| ch x | sh x + C |
¶Основные правила нахождения
¶Свойство линейности
Самый важный инструмент — свойство линейности неопределённого интеграла:
∫[a·f(x) + b·g(x)] dx = a·∫f(x) dx + b·∫g(x) dx
Это свойство позволяет разбивать сложную функцию на сумму более простых, каждая из которых интегрируется по таблице.
¶Интегрирование по переменной
Если интеграл содержит составную функцию f(u(x)), то используется замена переменной (метод подстановки). Пусть u = φ(x), тогда du = φ′(x)dx и интеграл приводится к виду ∫f(u) du.
Пример: ∫2x·cos(x²) dx. Замена u = x², du = 2x dx. Интеграл принимает вид ∫cos u du = sin u + C = sin(x²) + C.
¶Интегрирование по частям
Для произведения двух функций применяется формула интегрирования по частям:
∫u dv = uv − ∫v du
Выбор u и dv производится по правилу ЛИАТЕ (логарифм, обратная тригонометрическая, алгебраическая, тригонометрическая, экспонента): наименьший приоритет отдаётся u.
Пример: ∫x·eˣ dx. Пусть u = x, dv = eˣ dx. Тогда du = dx, v = eˣ. Получаем x·eˣ − ∫eˣ dx = x·eˣ − eˣ + C = (x−1)eˣ + C.
¶Частные приёмы
¶Разложение на множители
Рациональные дроби приводятся к сумме простейших слагаемых методом разложения на множители. Например:
∫1/(x²−1) dx = ∫[1/(2(x−1)) − 1/(2(x+1))] dx = ½ ln|(x−1)/(x+1)| + C
¶Тригонометрические замены
Для выражений вида √(a²−x²), √(a²+x²), √(x²−a²) применяются соответствующие тригонометрические замены: x = a·sin t, x = a·tg t, x = a·sec t.
¶Замена дробно-рациональной функции
Если под знаком интеграла стоит рациональная функция от ax+b, применяется замена t = ax+b, приводящая интеграл к таблицному виду.
¶Определённый интеграл
Если известны границы интегрирования a и b, используется определённый интеграл. По формуле Ньютона — Лейбница:
∫[a,b] f(x) dx = F(b) − F(a)
где F(x) — любая первообразная f(x). Постоянная C при этом сокращается, поэтому в вычислениях определённого интеграла её можно не записывать.
Пример: ∫[0,1] x² dx = [x³/3] от 0 до 1 = 1/3 − 0 = 1/3.
¶Когда первообразная не выражается элементарными функциями
Для ряда простых на вид функций первообразная не может быть записана через элементарные функции (степени, экспоненты, логарифмы, тригонометрические функции). К ним относятся:
- e^(−x²) — интеграл от этой функции связан с функцией ошибок erf(x);
- sin x / x — интеграл от этой функции называется интегралом Дирихле;
- 1/ln x — интеграл от этой функции называется интегралом логарифма;
- √(1+x⁴) — интеграл от этой функции связан с эллиптическими интегралами.
Эти функции определяются через сами интегралы и изучаются в курсе высшей математики отдельно.
¶Применение
Понятие первообразной используется при решении задач на вычисление площадей криволинейных трапеций, объёмов тел вращения, длин кривых, а также при решении дифференциальных уравнений. В физике первообразная позволяет перейти от скорости к перемещению, от мощности к работе, от плотности к массе.
Источники:
- Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа
- Фichtenholz Г. М. Курс математического анализа
- Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа
- Бурдуковский Р. Н., Гриценко И. Н. Математический анализ