Подобные треугольники в геометрии¶
Подобные треугольники — это треугольники, у которых соответственные углы попарно равны, а соответственные стороны пропорциональны. Отношение длин соответственных сторон называется коэффициентом подобия. Подобие — частный случай более общего понятия подобия фигур в евклидовой геометрии; если коэффициент подобия равен единице, подобные треугольники совпадают, то есть являются конгруэнтными.
¶Определение и признаки
Два треугольника подобны тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий:
- По двум углам. Два угла одного треугольника равны двум углам другого (поэтому равны и третьи). Обозначение: ∆ABC ∼ ∆A′B′C′.
- По двум сторонам и углу между ними. Отношение двух сторон одного треугольника равно отношению двух соответственных сторон другого, а углы между этими сторонами равны.
- По трём сторонам. Отношения всех трёх пар соответственных сторон попарно равны.
Эти условия одновременно являются и признаками подобия, и его свойствами: из подобия треугольников следуют равенство углов и пропорциональность сторон, и наоборот.
¶Свойства
Если ∆ABC ∼ ∆A′B′C′ с коэффициентом k, то:
- ∠A = ∠A′, ∠B = ∠B′, ∠C = ∠C′;
- A′B′/AB = B′C′/BC = A′C′/AC = k;
- Отношение площадей подобных треугольников равно k²;
- Отношение линейных размеров (высот, медиан, биссектрис, радиусов вписанных и описанных окружностей) соответствует коэффициенту k.
Подобие треугольников — отношение рефлексивное, симметричное и транзитивное: каждый треугольник подобен сам себе, подобие симметрично, а из подобия ∆ABC ∼ ∆A′B′C′ и ∆A′B′C′ ∼ ∆A″B″C″ следует подобие ∆ABC ∼ ∆A″B″C″. В совокупности это означает, что подобие разбивает множество всех треугольников на классы эквивалентности: все треугольники одного класса подобны друг другу, а разных классов — нет. Класс полностью определяется тремя углами, то есть формой, но не размером.
¶Теорема Фалеса
Теорема Фалеса — важнейший частный случай подобия треугольников. Если две прямые пересекают три параллельные прямые, то отрезки, отсекаемые на этих двух прямых, пропорциональны. Следствие теоремы Фалеса: прямая, параллельная одной из сторон треугольника и пересекающая две другие, отсекает от треугольника подобный ему треугольник. Именно этот приём лежит в основе многих задач на подобие.
¶Теорема о подобии треугольников с общим углом
Если два треугольника имеют общий угол и при этом углы при одной из его сторон попарно равны, то треугольники подобны. Частный и часто применяемый случай: если ∠ABD = ∠ACD (углы, наклонённые к одному отрезку), то треугольники ABD и ACD подобны. Этот факт используется при решении задач на вписанные окружности и цепочки подобных треугольников.
¶Применение
Подобие треугольников применяется в школьном курсе геометрии для доказательства теорем о пропорциональных отрезках, в задачах на вычисление длин и площадей, а также при построениях с линейкой и циркулем. В тригонометрии определения синуса, косинуса и тангенса оправданы именно подобием: значения тригонометрических функций не зависят от выбора прямоугольного треугольника с данным острым углом, поскольку все такие треугольники подобны.
В инженерной практике и картографии подобие обеспечивает масштабирование: уменьшенная копия местности на карте подобна самой местности. В компьютерной графике преобразование подобия (масштабирование) реализуется умножением координат на коэффициент.
¶Историческая справка
Понятие подобия треугольников восходит к «Началам» Евклида (около 300 года до н. э.), где оно использовано, в частности, для доказательства теоремы Пифагора. Теорема Фалеса приписывается Фалесу Милетскому (VII—VI века до н. э.), который, по преданию, измерил высоту египетских пирамид, сравнив тени пирамиды и палки.
¶Источники
- Евклид. Начала, книга VI.
- Пономарёв Л. И., Мищенко Е. Ф. Геометрия. 7—9 классы.
- Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 7—9 классы.
- Киселёва М. Я. Геометрия. 10—11 классы.