Полилинейное отображение

Полилинейное отображение — это отображение нескольких векторных аргументов в некоторое векторное пространство, линейное по каждому аргументу при фиксированных остальных. Полилинейные отображения являются обобщением понятия линейного оператора (который является частным случаем для одного аргумента) и билинейных форм (для двух аргументов). Они играют фундаментальную роль в линейной алгебре, тензорном исчислении, дифференциальной геометрии и функциональном анализе.

Определение

Пусть \(V_1, V_2, \dots, V_k\) и \(W\) — векторные пространства над одним и тем же полем \(\mathbb{F}\) (обычно \(\mathbb{R}\) или \(\mathbb{C}\)). Отображение \(f: V_1 \times V_2 \times \dots \times V_k \to W\) называется полилинейным (или \(k\)-линейным), если для каждого индекса \(i = 1, \dots, k\) и любых фиксированных значений остальных аргументов \(v_1, \dots, v_{i-1}, v_{i+1}, \dots, v_k\) отображение \[ v_i \mapsto f(v_1, \dots, v_{i-1}, v_i, v_{i+1}, \dots, v_k) \] является линейным. То есть для любых векторов \(u, v \in V_i\) и любого скаляра \(\lambda \in \mathbb{F}\) выполняются два условия:

• Аддитивность: \(f(\dots, u+v, \dots) = f(\dots, u, \dots) + f(\dots, v, \dots)\);
• Однородность: \(f(\dots, \lambda u, \dots) = \lambda f(\dots, u, \dots)\).

Если \(W = \mathbb{F}\), то такое отображение называют полилинейной формой (или \(k\)-линейной формой). Если все \(V_i\) совпадают с одним и тем же пространством \(V\), то говорят о полилинейном отображении на \(V\).

Примеры

Билинейные отображения

Наиболее известный пример — скалярное произведение в евклидовом пространстве \(\mathbb{R}^n\). Отображение \(\langle \cdot, \cdot \rangle: \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) линейно по каждому аргументу. Другой пример — векторное произведение в \(\mathbb{R}^3\): \(\times: \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\) является билинейным отображением (но не билинейной формой, так как его значения — векторы).

Определитель матрицы

Определитель квадратной матрицы размера \(n \times n\) можно рассматривать как полилинейную форму от \(n\) столбцов (или строк) матрицы. Отображение \(\det: V \times \dots \times V \to \mathbb{F}\) (где \(V = \mathbb{F}^n\)) является \(n\)-линейным и кососимметрическим (меняет знак при перестановке двух аргументов).

Тензорное произведение

Полилинейные отображения тесно связаны с тензорным произведением. Любое полилинейное отображение \(f: V_1 \times \dots \times V_k \to W\) однозначно факторизуется через линейное отображение из тензорного произведения \(V_1 \otimes \dots \otimes V_k\) в \(W\). Это свойство называется универсальностью тензорного произведения.

Свойства

Линейность по совокупности аргументов

Полилинейное отображение не является линейным отображением из декартова произведения пространств, если \(k > 1\). Например, для билинейного отображения \(B\) выполняется \(B(u+v, w) = B(u, w) + B(v, w)\), но \(B(u+v, w+z) \neq B(u, w) + B(v, z)\) в общем случае. Линейность по совокупности означает, что отображение было бы линейным, если бы аргументы рассматривались как единый вектор в \(V_1 \oplus \dots \oplus V_k\), но это не так.

Кососимметричность и симметричность

Полилинейная форма называется симметрической, если её значение не меняется при перестановке любых двух аргументов: \(f(v_1, \dots, v_i, \dots, v_j, \dots, v_k) = f(v_1, \dots, v_j, \dots, v_i, \dots, v_k)\). Форма называется кососимметрической (или альтернирующей), если при перестановке двух аргументов знак меняется на противоположный: \(f(v_1, \dots, v_i, \dots, v_j, \dots, v_k) = -f(v_1, \dots, v_j, \dots, v_i, \dots, v_k)\). Кососимметрические полилинейные формы лежат в основе теории определителей и дифференциальных форм.

Полилинейные отображения и базисы

Если в каждом пространстве \(V_i\) выбран базис \(\{e^{(i)}_1, \dots, e^{(i)}_{n_i}\}\), то полилинейное отображение \(f\) однозначно определяется своими значениями на наборах базисных векторов. Для билинейного отображения \(B: V \times U \to W\) с базисами \(\{e_j\}\) в \(V\) и \(\{f_k\}\) в \(U\) значения \(B(e_j, f_k)\) образуют матрицу (или тензор) коэффициентов. В общем случае полилинейное отображение задаётся многомерным массивом — тензором ранга \(k\).

Классификация

По числу аргументов

• Билинейные (\(k=2\)): скалярное произведение, векторное произведение, матричное умножение.
• Трилинейные (\(k=3\)): смешанное произведение векторов в \(\mathbb{R}^3\), тензор Римана в дифференциальной геометрии.
• Полилинейные высших порядков (\(k \geq 4\)): встречаются в теории упругости, квантовой механике, машинном обучении (тензорные разложения).

По типу значений

• Полилинейные формы (значения в поле \(\mathbb{F}\)): определитель, билинейные формы.
• Полилинейные отображения (значения в произвольном пространстве \(W\)): тензор кривизны, тензор инерции.

Применение

Тензорное исчисление

Полилинейные отображения являются основой тензорной алгебры. Тензор типа \((p, q)\) — это полилинейное отображение, которое принимает \(p\) ковекторов и \(q\) векторов и возвращает число. В физике тензоры используются для описания напряжений, деформаций, электромагнитного поля (тензор электромагнитного поля в теории относительности).

Дифференциальная геометрия

В дифференциальной геометрии важную роль играют симметрические билинейные формы (первая и вторая фундаментальные формы поверхности) и кососимметрические полилинейные формы — дифференциальные формы. Внешняя производная и интегрирование по многообразиям основаны на свойствах кососимметрических полилинейных форм.

Машинное обучение и анализ данных

В современной вычислительной математике полилинейные отображения применяются для работы с многомерными данными (тензорами). Разложения тензоров (CP-разложение, разложение Таккера) используются в сжатии данных, рекомендательных системах, компьютерном зрении и нейросетях.

Функциональный анализ

В бесконечномерных пространствах рассматриваются полилинейные непрерывные отображения между банаховыми пространствами. Они играют роль в теории дифференцирования по Фреше (производная Фреше отображения \(f: X \to Y\) является линейным отображением, а вторая производная — билинейным симметрическим отображением).

История

Понятие полилинейного отображения сформировалось в XIX веке в работах по линейной алгебре и теории определителей. Термин «полилинейный» ввёл немецкий математик Герман Грассман в 1844 году в своей книге «Die lineale Ausdehnungslehre» (Учение о линейном расширении). Грассман разработал основы внешней алгебры, где кососимметрические полилинейные формы (поливекторы) играют центральную роль. В 1860-е годы Альфред Кэли и Джеймс Сильвестр развили теорию билинейных и квадратичных форм. В XX веке полилинейные отображения стали неотъемлемой частью тензорного анализа, который получил широкое применение в общей теории относительности (Альберт Эйнштейн, 1915) и квантовой механике.

Источники

• Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Наука, 1986.
• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: МЦНМО, 2011.
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — М.: Добросвет, 1998.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Физматлит, 2009.
• Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. — М.: Мир, 1998. (раздел о полилинейных формах)