Тензор Римана

Тензор Римана (тензор кривизны Римана, тензор Римана — Кристоффеля) — это математический объект, задающий меру отклонения геометрии многообразия от евклидовой (плоской) геометрии. В дифференциальной геометрии и общей теории относительности тензор Римана представляет собой тензор валентности (1,3) или (0,4), который полностью описывает внутреннюю кривизну риманова или псевдориманова многообразия. Его компоненты выражаются через символы Кристоффеля и их частные производные, и он является фундаментальным инструментом для анализа геометрических свойств пространства-времени.

История

Понятие кривизны многомерных пространств было введено Бернхардом Риманом в его знаменитой лекции «О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии» (1854 год, опубликована в 1868 году). Риман обобщил гауссову кривизну поверхностей на произвольные размерности, предложив тензор, который теперь носит его имя. Однако в явном виде тензор кривизны был сформулирован позднее, в работах Элвина Бруно Кристоффеля (1869 год), который разработал символы, названные его именем, и показал, как из них строится тензор кривизны. В 1901 году Грегорио Риччи-Курбастро и Туллио Леви-Чивита систематизировали тензорное исчисление, включив в него тензор Римана как ключевой объект.

В общей теории относительности Альберт Эйнштейн (1915 год) использовал тензор Римана для описания гравитации: кривизна пространства-времени, задаваемая этим тензором, связывается с распределением материи через уравнения Эйнштейна. Дальнейшее развитие теории привело к выделению из тензора Римана тензора Риччи и скалярной кривизны, которые непосредственно входят в уравнения поля.

Определение

Тензор Римана \( R \) — это тензорное поле на многообразии \( M \), которое каждой точке сопоставляет линейное отображение касательного пространства в себя. В компонентной записи (в локальных координатах \( x^\mu \)) тензор кривизны типа (1,3) определяется как:

\[ R^\rho_{\ \sigma\mu\nu} = \partial_\mu \Gamma^\rho_{\nu\sigma} - \partial_\nu \Gamma^\rho_{\mu\sigma} + \Gamma^\rho_{\mu\lambda} \Gamma^\lambda_{\nu\sigma} - \Gamma^\rho_{\nu\lambda} \Gamma^\lambda_{\mu\sigma}, \]

где \( \Gamma^\rho_{\mu\nu} \) — символы Кристоффеля (связность Леви-Чивиты), а \( \partial_\mu \) обозначает частную производную по координате \( x^\mu \). Индексы \( \mu, \nu \) — это индексы кривизны, а \( \sigma \) — индекс направления, вдоль которого происходит перенос вектора. Тензор \( R^\rho_{\ \sigma\mu\nu} \) антисимметричен по последним двум индексам: \( R^\rho_{\ \sigma\mu\nu} = - R^\rho_{\ \ \sigma\nu\mu} \).

Для риманова многообразия с метрическим тензором \( g_{\mu\nu} \) можно определить тензор типа (0,4) путём опускания индекса:

\[ R_{\rho\sigma\mu\nu} = g_{\rho\lambda} R^\lambda_{\ \sigma\mu\nu}. \]

Этот тензор обладает дополнительными симметриями: он антисимметричен по первой паре индексов (\( R_{\rho\sigma\mu\nu} = - R_{\sigma\rho\mu\nu} \)), симметричен относительно перестановки пар (\( R_{\rho\sigma\mu\nu} = R_{\mu\nu\rho\sigma} \)) и удовлетворяет тождеству Бьянки (циклическому тождеству):

\[ R_{\rho\sigma\mu\nu} + R_{\rho\mu\nu\sigma} + R_{\rho\nu\sigma\mu} = 0. \]

Геометрический смысл

Тензор Римана измеряет некоммутативность ковариантных производных. Для векторного поля \( V^\rho \) выполняется соотношение:

\[ [\nabla_\mu, \nabla_\nu] V^\rho = R^\rho_{\ \sigma\mu\nu} V^\sigma, \]

где \( \nabla_\mu \) — ковариантная производная, а \( [\cdot,\cdot] \) — коммутатор. Если тензор Римана равен нулю во всех точках многообразия, то ковариантные производные коммутируют, и многообразие является локально евклидовым (плоским). В противном случае геометрия искривлена.

Другой аспект: тензор Римана описывает изменение направления вектора при параллельном переносе вдоль замкнутого контура. Если обнести вектор вокруг бесконечно малой петли, его изменение пропорционально компонентам тензора Римана, свёрнутым с площадью петли.

Свойства и симметрии

Тензор Римана обладает следующими ключевыми свойствами:

• Антисимметрия: \( R_{\rho\sigma\mu\nu} = - R_{\sigma\rho\mu\nu} \) и \( R_{\rho\sigma\mu\nu} = - R_{\rho\sigma\nu\mu} \).
• Симметрия по парам: \( R_{\rho\sigma\mu\nu} = R_{\mu\nu\rho\sigma} \).
• Первое тождество Бьянки: \( R_{\rho\sigma\mu\nu} + R_{\rho\mu\nu\sigma} + R_{\rho\nu\sigma\mu} = 0 \).
• Второе тождество Бьянки: \( \nabla_\lambda R_{\rho\sigma\mu\nu} + \nabla_\mu R_{\rho\sigma\nu\lambda} + \nabla_\nu R_{\rho\sigma\lambda\mu} = 0 \).

В \( n \)-мерном пространстве число независимых компонент тензора Римана равно \( \frac{n^2 (n^2 - 1)}{12} \). Для \( n = 2 \) это 1 компонента (гауссова кривизна), для \( n = 3 \) — 6 компонент, для \( n = 4 \) — 20 компонент.

Свёртки тензора Римана

Из тензора Римана путём свёртки по индексам получают другие важные тензоры:

• Тензор Риччи: \( R_{\mu\nu} = R^\lambda_{\ \mu\lambda\nu} \). Он симметричен и описывает среднюю кривизну в данном направлении.
• Скалярная кривизна: \( R = g^{\mu\nu} R_{\mu\nu} \). Это полная кривизна в точке, скалярная функция.

В общей теории относительности тензор Риччи и скалярная кривизна входят в уравнения Эйнштейна:

\[ R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}, \]

где \( \Lambda \) — космологическая постоянная, \( G \) — гравитационная постоянная, \( c \) — скорость света, \( T_{\mu\nu} \) — тензор энергии-импульса.

Примеры

Плоское пространство

В евклидовом пространстве \( \mathbb{R}^n \) с метрикой \( g_{\mu\nu} = \delta_{\mu\nu} \) (или в пространстве Минковского с метрикой \( \eta_{\mu\nu} \)) все символы Кристоффеля равны нулю, поэтому тензор Римана тождественно равен нулю. Такое пространство называется плоским.

Сфера \( S^2 \)

Для двумерной сферы радиуса \( r \) с метрикой \( g_{\theta\theta} = r^2 \), \( g_{\phi\phi} = r^2 \sin^2\theta \) ненулевая компонента тензора Римана (типа (0,4)) равна:

\[ R_{\theta\phi\theta\phi} = r^2 \sin^2\theta. \]

Свёртка даёт скалярную кривизну \( R = \frac{2}{r^2} \), что соответствует постоянной положительной кривизне.

Пространство-время Шварцшильда

В метрике Шварцшильда, описывающей гравитационное поле точечной массы \( M \), тензор Римана имеет ненулевые компоненты, которые вдали от массы (\( r \to \infty \)) стремятся к нулю, а вблизи горизонта событий становятся большими, указывая на сильную кривизну.

Применение

Тензор Римана является центральным объектом в:

• Общей теории относительности: определяет гравитационное поле через кривизну пространства-времени.
• Дифференциальной геометрии: используется для классификации многообразий по кривизне (пространства постоянной кривизны, симметрические пространства).
• Теории струн и калибровочных теориях: входит в действие Эйнштейна — Гильберта и его обобщения.
• Математической физике: применяется при изучении геодезических отклонений и гравитационных волн.

Интересные факты

• Тензор Римана в двумерном пространстве полностью определяется гауссовой кривизной, которая является скаляром.
• В трёхмерном пространстве тензор Римана эквивалентен тензору Риччи: \( R_{\rho\sigma\mu\nu} = g_{\rho\mu} R_{\sigma\nu} - g_{\rho\nu} R_{\sigma\mu} - g_{\sigma\mu} R_{\rho\nu} + g_{\sigma\nu} R_{\rho\mu} - \frac{R}{2} (g_{\rho\mu} g_{\sigma\nu} - g_{\rho\nu} g_{\sigma\mu}) \).
• В вакуумных решениях уравнений Эйнштейна (например, метрика Шварцшильда) тензор Риччи равен нулю, но тензор Римана не равен нулю, что указывает на наличие гравитационного поля в пустом пространстве.
• Тензор Римана является одним из немногих тензоров, которые можно построить из метрики и её производных до второго порядка, что делает его естественной мерой кривизны.

Источники

• Бернхард Риман, «О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии» (1854).
• Элвин Бруно Кристоффель, «О преобразовании однородных дифференциальных форм второго порядка» (1869).
• Грегорио Риччи-Курбастро и Туллио Леви-Чивита, «Методы абсолютного дифференциального исчисления и их приложения» (1901).
• Альберт Эйнштейн, «Основы общей теории относительности» (1916).
• Чарльз Мизнер, Кип Торн, Джон Уилер, «Гравитация» (1973).