Поправка Бесселя

Поправка Бесселя — это статистическая поправка, используемая при вычислении выборочной дисперсии и выборочного стандартного отклонения, которая заключается в замене знаменателя \( n \) (объём выборки) на \( n-1 \). Применение поправки позволяет получить несмещённую оценку генеральной дисперсии для выборки, извлечённой из нормально распределённой совокупности. Названа в честь немецкого математика и астронома Фридриха Вильгельма Бесселя, который ввёл её в контексте обработки астрономических наблюдений.

История

В начале XIX века астрономы столкнулись с проблемой оценки точности измерений. При многократных наблюдениях одного и того же объекта (например, положения звезды) среднее арифметическое результатов давало наиболее вероятное значение, но для оценки разброса (дисперсии) требовалась корректировка. Фридрих Вильгельм Бессель, работая над теорией ошибок, в 1818 году предложил использовать \( n-1 \) вместо \( n \) при вычислении среднего квадратического отклонения по выборке. Это позволило устранить систематическое занижение дисперсии, которое возникало при использовании неисправленной формулы. Идея Бесселя была формализована и обоснована в рамках математической статистики в конце XIX — начале XX века, в частности, в работах Карла Пирсона и Рональда Фишера.

Математическая формулировка

Пусть \( X_1, X_2, \dots, X_n \) — случайная выборка объёма \( n \) из генеральной совокупности с математическим ожиданием \( \mu \) и дисперсией \( \sigma^2 \). Выборочное среднее определяется как: \[ \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i \]

Выборочная дисперсия без поправки (смещённая оценка) вычисляется по формуле: \[ S_n^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2 \]

Выборочная дисперсия с поправкой Бесселя (несмещённая оценка) вычисляется как: \[ S_{n-1}^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2 \]

Математическое ожидание смещённой оценки равно \( \frac{n-1}{n} \sigma^2 \), то есть она систематически занижает истинную дисперсию. Поправка Бесселя компенсирует это смещение, так как: \[ \mathbb{E}[S_{n-1}^2] = \sigma^2 \]

Причина смещения

Смещение возникает из-за того, что выборочное среднее \( \bar{X} \) само является оценкой и минимизирует сумму квадратов отклонений. В результате сумма \( \sum (X_i - \bar{X})^2 \) в среднем меньше, чем сумма \( \sum (X_i - \mu)^2 \). Потеря одной степени свободы (связанная с тем, что \( \bar{X} \) вычисляется по тем же данным) и приводит к необходимости деления на \( n-1 \).

Применение

Поправка Бесселя является стандартным инструментом в прикладной статистике и используется в следующих областях:

• Оценка параметров распределения: при расчёте выборочного стандартного отклонения \( s = \sqrt{S_{n-1}^2} \) для характеристики разброса данных в выборке.
• Доверительные интервалы: при построении интервалов для среднего с использованием t-распределения Стьюдента (например, \( \bar{X} \pm t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \)).
• Проверка гипотез: в t-тестах (одновыборочный, двухвыборочный, парный) и F-тестах для сравнения дисперсий.
• Регрессионный анализ: при оценке остаточной дисперсии и стандартных ошибок коэффициентов регрессии.
• Контроль качества: при вычислении выборочных стандартных отклонений для контрольных карт (например, s-карты).

Пример

Имеется выборка из пяти наблюдений: 2, 4, 6, 8, 10. Выборочное среднее \( \bar{X} = 6 \). Сумма квадратов отклонений: \[ (2-6)^2 + (4-6)^2 + (6-6)^2 + (8-6)^2 + (10-6)^2 = 16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40 \] Смещённая оценка дисперсии: \( 40 / 5 = 8 \). Несмещённая оценка: \( 40 / 4 = 10 \). Истинная дисперсия генеральной совокупности (если бы она была известна) могла бы быть ближе к 10, чем к 8.

Критика и ограничения

• Несмещённость для дисперсии, но не для стандартного отклонения: Поправка Бесселя даёт несмещённую оценку дисперсии, но выборочное стандартное отклонение \( s = \sqrt{S_{n-1}^2} \) остаётся смещённой оценкой генерального стандартного отклонения (смещение уменьшается с ростом \( n \)). Для малых выборок это может быть существенно.
• Применимость только для нормального распределения: Свойство несмещённости строго доказано для выборок из нормально распределённой совокупности. Для других распределений оценка \( S_{n-1}^2 \) может быть смещённой, хотя часто остаётся состоятельной.
• Альтернативные подходы: В байесовской статистике для оценки дисперсии часто используют знаменатель \( n+1 \) (апостериорная оценка при равномерном априорном распределении). В машинном обучении при вычислении эмпирического риска иногда применяют деление на \( n \) для упрощения.
• Малые выборки: При \( n=1 \) поправка Бесселя приводит к делению на ноль, что делает оценку неопределённой. Для \( n=2 \) оценка основана на единственном отклонении, что даёт низкую надёжность.

Интересные факты

• Поправка Бесселя часто упоминается в учебниках как «деление на \( n-1 \)» без указания авторства, хотя её происхождение связано с астрономией.
• В некоторых статистических пакетах (например, в R, Python с библиотекой NumPy) по умолчанию используется именно поправка Бесселя (параметр ddof=1), но пользователь может задать произвольное число степеней свободы.
• Термин «степени свободы» (degrees of freedom) в контексте поправки Бесселя ввёл Рональд Фишер в 1920-х годах.

Источники

• Бессель Ф. В. «О вероятности ошибок астрономических наблюдений» (1818).
• Кендалл М., Стюарт А. «Теория распределений» (том 1), 1976.
• Крамер Г. «Математические методы статистики», 1946.
• Фишер Р. А. «Статистические методы для исследователей», 1925.
• Ван дер Варден Б. Л. «Математическая статистика», 1960.