Поток — понятие в физике и математике¶

Поток — это количественно измеряемое переносимое сквозь некоторую поверхность физическое воздействие или количество вещества, энергии, заряда, импульса и т. п., проходящее через эту поверхность за единицу времени. Понятие потока является центральным в гидродинамике, аэродинамике, электродинамике, теории переноса тепла и массы, а также в математическом анализе, где оно получает строгое определение через интеграл по поверхности.

¶Определение и математическая формулировка

В общем виде поток векторного поля F через ориентированную поверхность S задаётся интегралом

Φ = ∬_S F · n dS,

где n — единичная нормаль к элементарной площадке dS, направленная по выбранной ориентации поверхности. Если поле F описывает плотность переносимого количества (например, массовую плотность потока массы), то Φ имеет смысл количества, проходящего через поверхность за единицу времени.

В одномерном случае (поток через площадку S при равномерном поле) формула вырождается в Φ = F·S·cos α, где α — угол между вектором поля и нормалью. Если нормаль перпендикулярна полю (α = 0), поток максимален; при α = 90° он равен нулю.

¶Основные виды потоков

¶Потоки в механике сплошных сред

В гидродинамике и аэродинамике ключевыми являются:

• Объёмный расход (расход жидкости или газа) — объём вещества, проходящего через сечение за единицу времени, измеряется в м³/с. Для идеальной несжимаемой жидкости в трубопроводе постоянного сечения величина расхода сохраняется вдоль трубы (уравнение неразрывности).
• Массовый расход — масса вещества, проходящая через сечение за единицу времени, кг/с. Связан с объёмным расходом через плотность: G = ρ·Q.
• Вектор потока скорости — произведение скорости течения на площадь сечения; в неоднородных полях используется локальная плотность потока j = ρ·v.

¶Тепловой поток

Количество тепловой энергии, передаваемой через поверхность за единицу времени, измеряется в ваттах. Плотность теплового потока q (Вт/м²) в твёрдых телах и жидкостях описывается законом Фурье: q = −λ∇T, где λ — коэффициент теплопроводности, ∇T — градиент температуры. Знак «минус» отражает то, что тепло переносится от более горячих областей к более холодным.

¶Электрический ток как поток заряда

Электрический ток I в элементарном сечении проводника — это алгебраическая сумма потоков элементарных зарядов, проходящих через это сечение за единицу времени: I = dQ/dt, измеряется в амперах. Плотность тока j (А/м²) связана с током интегралом по сечению. В квантовой теории тока потоком носителей заряда описывается формула Друде или кинетическое уравнение Больцмана.

¶Поток излучения

Энергия электромагнитного излучения, проходящая через поверхность за единицу времени. В фотометрии и радиометрии используются понятия светового потока (люмен), потока излучения (ватт), а также спектрального потока — распределения по длинам волн.

¶Потоки в теории переноса

В кинетической теории газов и теории диффузии рассматриваются потоки массы, импульса (связанные с вязкостью) и энергии. Фурье (тепло), Фикк (диффузия) и Ньютон (вязкость) — три классических закона, описывающих линейные переносные процессы через соответствующие потоки.

¶Поток в математике

В математическом анализе и векторном анализе поток векторного поля через поверхность — это частный случай интеграла по поверхности. Теорема Гаусса (Остроградского) связывает поток векторного поля через замкнутую поверхность с тройным интегралом дивергенции по объёму, ограниченному этой поверхностью:

∬_S F · n dS = ∭_V div F dV.

Эта теорема является фундаментом уравнений сохранения в физике: закон сохранения массы, энергии, импульса в континуальной среде формулируются именно через баланс потоков через границу произвольного объёма.

В теории потоков на многообразиях понятие потока динамической системы (поток фазовой траектории) обозначает семейство гомеоморфизмов, порождённых решением системы ОДУ, — это другое, хотя и родственное по метафоре, математическое понятие.

¶Применение

Понятие потока применяется при расчёте трубопроводов и гидравлических систем, в теплотехнике (размеры теплообменников), в электротехнике (сечение проводников), в атмосферной физике и океанографии (теплообменные потоки), в химической инженерии (массообменные аппараты), в астрофизике (поток излучения звёзд) и в метеорологии (потоки влаги и тепла).

¶История

Понятие потока как математического объекта оформилось в трудах немецких математиков XIX века — Карла Фридриха Гаусса, Михаила Остроградского (который опубликовал дивергенционную теорему раньше Гаусса) и Георга Огюста Грина. В гидродинамике основы были заложены работами Леонарда Эйлера и Даниила Бернулли, а в кинетической теории — Джеймсом Клерком Максвеллом и Людвигом Больцманом.

¶Источники

• Тарасов Л. С. Курс общей физики. — М.
• Савельев И. В. Курс общей физики. — М.: Айрис-пресс.
• Гранберг А. Г. Физика. — М.: Высшая школа.
• Коршунов О. А. Математический анализ. — М.: Высшая школа.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. — М.: Наука.