Правильный додекаэдр¶
Правильный додекаэдр — выпуклый многогранник, одна из пяти правильных многогранников (платоновых тел),грани которого представлены двенадцатью правильными пятиугольниками. Обозначение по Шлефли — {5, 3}. Многогранник обладает 12 гранями, 30 рёбрами и 20 вершинами; в каждой вершине сходятся три грани. Правильный додекаэдр вписан в сферу, описан около неё и допускает вписанную сферу, касающуюся всех граней.
¶Свойства
Додекаэдр принадлежит к группе правильных выпуклых многогранников, описанных ещё Евклидом в «Началах» (книга XIII). Среди правильных многогранников он занимает промежуточное положение между икосаэдром и двадцатигранником по числу граней.
Основные метрические характеристики при длине ребра $a$:
| Величина | Формула |
|---|---|
| Число граней | 12 |
| Число рёбер | 30 |
| Число вершин | 20 |
| Сумма углов при вершине | 3 × 108° = 324° |
| Угол между смежными гранями | ≈ 116,565° |
| Площадь поверхности | $3\sqrt{25+10\sqrt5}\,a^2$ ≈ 20,646 $a^2$ |
| Объём | $\frac{15+7\sqrt5}{4}\,a^3$ ≈ 7,663 $a^3$ |
| Радиус описанной сферы | $\frac{\sqrt3(1+\sqrt5)}{4}\,a$ ≈ 1,401 $a$ |
| Радиус вписанной сферы | $\frac{a}{2}\sqrt{\frac{25+11\sqrt5}{10}}$ ≈ 1,113 $a$ |
Угол между гранями вычисляется по формуле $\arccos(-\sqrt5/5)$ и составляет приблизительно 116,565°. Додекаэдр обладает центром симметрии и группой симметрий порядка 120, изоморфной прямой произвольной группе $A_5 \times \mathbb{Z}_2$.
¶Координаты вершин
В декартовой системе координат вершины правильного додекаэдра с ребром $a = 2/\varphi$ (где $\varphi = (1+\sqrt5)/2$ — золотое сечение) размещаются в трёх взаимно перпендикулярных «золотых прямоугольниках»:
- $(\pm 1, \pm 1, \pm 1)$ — 8 вершин куба;
- $(0, \pm\varphi, \pm 1/\varphi)$ — 4 вершины;
- $(\pm 1/\varphi, 0, \pm\varphi)$ — 4 вершины;
- $(\pm\varphi, \pm 1/\varphi, 0)$ — 4 вершины.
Таким образом, вершины додекаэдра можно построить из вершин куба и точек, связанных с золотым сечением. Эта связь объясняет, почему додекаэдр допускает вписывание в куб (и наоборот — куб можно вписать в додекаэдр, выбрав восемь из двадцати вершин).
¶Связь с другими многогранниками
Додекаэдр тесно связан с икосаэдром: они являются двойственными многогранниками. Центры двенадцати граней додекаэдра образуют вершины правильного икосаэдра, и наоборот. Оба многогранника имеют одинаковую группу симметрий (порядка 120) и могут быть получены из друг друга полярным преобразованием относительно вписанной сферы.
Додекаэдр также связан с кубом: восемь из двадцати его вершин образуют вершины куба, а двенадцать рёбер додекаэдра лежат на гранях куба. Кроме того, додекаэдр допускает вписывание в три взаимно перпендикулярных «золотых прямоугольника», описанных выше.
¶Разновидности
Помимо правильного выпуклого додекаэдра, известны:
- Усечённый додекаэдр — архимедов тело, получаемое отсечением вершин правильного додекаэдра; имеет 12 пятиугольных и 20 треугольных граней.
- Додекаэдр Кеплера — Пуансо — звёздчатый многогранник, образованный продолжением граней правильного додекаэдра до пересечения; имеет 12 звёздчатых пентаграммных граней.
- Усечённый икосаэдр — двойственный к усечённому додекаэдру.
- Пентагональный додекаэдр — неправильный додекаэдр, встречающийся в кристаллографии (например, в форме пирита).
¶Применение и значение
Додекаэдр упоминается в «Тимее» Платона, где пять правильных многогранников были связаны с классическими стихиями; додекаэдру Платон отводил роль «вселенной» или «эфира». В эпоху Возрождения изучением правильных многогранников занимался Лука Пачоли, а Леонардо да Винчи создал каркасные изображения додекаэдра для его трактата «О божественной пропорции».
В кристаллографии пентагональный додекаэдр (пиритогедрит) встречается в минералогии; правильный додекаэдр в природе не образуется в кристаллах, поскольку пятиугольная симметрия несовместима с трансляционной периодичностью кристаллической решётки.
В математике додекаэдр используется как пример при изучении групп симметрии, топологии и дискретной геометрии. Его двойственность с икосаэдром иллюстрирует понятие полярного преобразования многогранников.
В архитектуре и дизайне додекаэдрические формы применяются при проектировании куполов и оболочек; в XX веке Р. Б. Фуллер исследовал додекаэдрические конструкции для геодезических куполов. В компьютерной графике додекаэдр используется как тестовая модель и как основа для генерации сферических сеток.
В компьютерных играх и настольных ролевых играх додекаэдр (d12) применяется как форма двенадцатигранного кубика для генерации случайных чисел.
¶Интересные факты
- Додекаэдр — единственный правильный многогранник, все грани которого — пятиугольники; пятиугольная симметрия делает его невозможным в кристаллографии.
- Сумма углов при любой вершине додекаэдра равна 324°, что превышает 360° не достигая, обеспечивая выпуклость.
- Додекаэдр упоминается в романе «Додекаэдр» Г. Д. Салмана Рушди (2023), где он служит метафорой множественности миров.
¶Источники
- Евклид. Начала, книга XIII.
- М. В. Венцель. Правильные многогранники.
- Л. Пачоли. О божественной пропорции (1509).
- H. S. M. Coxeter. Regular Polytopes.
- А. Н. Косточкин. Многогранники.