Многогранники в геометрии¶

Многогранник — геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников, называемых гранями. Многогранники относятся к классу пространственных фигур и изучаются в стереометрии, кристаллографии, топологии, компьютерной графике и архитектуре. Основными элементами многогранника являются грани (плоские многоугольники), рёбра (отрезки, по которым пересекаются грани) и вершины (точки пересечения рёбер).

¶Определение и основные свойства

Многогранник представляет собой ограниченную область пространства, граница которой составлена из конечного числа многоугольников. Формально многогранник определяется как объединение конечного числа плоских многоугольников, удовлетворяющее условиям: каждое ребро принадлежит ровно двум граням, а любые две грани соединяются цепочкой смежных граней.

Ключевые характеристики многогранников:

• Выпуклость. Многогранник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани. Выпуклые многогранники обладают рядом удобных свойств и активно изучаются.
• Число граней, рёбер и вершин. Эти величины связаны формулой Эйлера.
• Правильность. Многогранник называется правильным, если все его грани — одинаковые правильные многоугольники, а в каждой вершине сходится одинаковое число граней.

¶Теорема Эйлера

Для любого выпуклого многогранника выполняется соотношение, установленное Леонардом Эйлером в 1752 году:

В − Р + Г = 2,

где В — число вершин, Р — число рёбер, Г — число граней. Эта формула связывает комбинаторные характеристики многогранника и лежит в основе топологического подхода к их изучению. Величина В − Р + Г называется эйлеровой характеристикой и для выпуклых многогранников всегда равна двум.

¶Классификация

¶Правильные многогранники

Существует ровно пять правильных выпуклых многогранников, называемых также платоновыми телами:

Доказательство того, что других правильных выпуклых многогранников не существует, было известно ещё в античности.

¶Полуправильные и звёздчатые

К полуправильным (архимедовым телам) относят многогранники с одинаковыми правильными гранями нескольких типов, например усечённый тетраэдр или кубооктаэдр. Звёздчатые многогранники, среди которых тела Кеплера — Пуансо, получаются продолжением граней правильных многогранников и обладают самопересекающимися гранями.

¶Призмы и пирамиды

Призма — многогранник, две грани которого (основания) — равные многоугольники в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммы. Пирамида имеет одно основание-многоугольник, а боковые грани — треугольники, сходящиеся в общей вершине. Эти семейства широко применяются в задачах стереометрии.

¶История изучения

Многогранники известны с древности. Пифагорейцы изучали правильные тела, а Платон связал четыре из них с первоэлементами (тетраэдр — огонь, куб — земля, октаэдр — воздух, икосаэдр — вода), додекаэдру отводилась роль формы Вселенной. Евклид в XIII книге «Начал» дал полное построение и описание пяти правильных многогранников.

В эпоху Возрождения интерес к многогранникам возродил Иоганн Кеплер, пытавшийся связать орбиты планет с платоновыми телами. Леонард Эйлер установил формулу для чисел граней, рёбер и вершин. В XIX—XX веках теория многогранников развивалась в работах Огюстена Луи Коши, Германа Минковского, а позднее — в рамках топологии и вычислительной геометрии.

¶Применение

Многогранники находят применение в различных областях:

• Кристаллография. Природные кристаллы часто имеют форму многогранников; их симметрия описывается теорией групп.
• Архитектура и строительство. Геодезические купола, разработанные Ричардом Бакминстером Фуллером, основаны на разбиении сферы на треугольные грани.
• Компьютерная графика. Трёхмерные модели объектов строятся из полигональных сеток — многогранников с треугольными гранями.
• Оптимизация. Теория линейного программирования оперирует многогранниками допустимых решений в многомерном пространстве.
• Химия. Молекулы ряда соединений, например фуллеренов, имеют форму многогранников.

¶Многогранники в России

В российской математической школе теория многогранников развивалась в работах геометров XIX—XX веков. Задачи о развёртках, объёмах и классификации многогранников входят в программы средней школы и вузов. В 1900 году Давид Гильберт сформулировал среди своих знаменитых проблем третью — о равносоставленности многогранников равного объёма; её решил его ученик Макс Ден, показав, что не любые два равновеликих многогранника равносоставлены. Это результат тесно связан с понятием инварианта Дена.

¶Интересные факты

• Додекаэдр и икосаэдр связаны принципом двойственности: центры граней одного образуют вершины другого.
• Римские додекаэдры — археологические артефакты из бронзы, назначение которых до конца не установлено.
• Формула Эйлера справедлива не только для многогранников, но и для любых плоских графов, что связывает геометрию и теорию графов.

Источники: учебники по стереометрии, «Начала» Евклида, работы Л. Эйлера, энциклопедические издания по математике.