Предел частного¶

Предел частного — понятие математического анализа, описывающее поведение отношения двух функций при стремлении аргумента к некоторой точке или к бесконечности. Предел частного является основой для определения производной, критериев неопределённых форм и правила Лопиталя.

¶Определение

Пусть $f(x)$ и $g(x)$ определены в проколотой окрестности точки $a$ (или при $|x| \to \infty$), причём $g(x) \neq 0$ в этой окрестности. Пределом частного называется величина

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)},$$

если он существует и конечен. Предел частного существует и равен $A$, если для любого $\varepsilon > 0$ найдётся $\delta > 0$ такое, что при $0 < |x - a| < \delta$ выполняется $\left|\frac{f(x)}{g(x)} - A\right| < \varepsilon$.

¶Основные теоремы

¶Теорема о пределе частного

Если $\lim_{x \to a} f(x) = A$ и $\lim_{x \to a} g(x) = B \neq 0$, то

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}.$$

Теорема распространяется на случай $a = \pm\infty$ и на односторонние пределы. Следствием является правило: если $B = 0$, а $A \neq 0$, то предел частного не существует (модуль отношения неограниченно возрастает).

¶Неопределённые формы

Если одновременно $\lim f(x) = 0$ и $\lim g(x) = 0$, говорят о неопределённой форме вида $\frac{0}{0}$. Аналогично, если $|f(x)| \to \infty$ и $|g(x)| \to \infty$, возникает форма $\frac{\infty}{\infty}$. В этих случаях предел частного может существовать, не существовать или быть равным любому числу — требуется дополнительный анализ.

¶Правило Лопиталя

Правило Лопиталя (Франсуа Лопиталь, 1696) позволяет вычислять пределы неопределённых форм $\frac{0}{0}$ и $\frac{\infty}{\infty}$. Если функции $f$ и $g$ дифференцируемы в окрестности точки $a$ (кроме, возможно, самой $a$), $g'(x) \neq 0$ и существует предел

$$\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L,$$

то

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = L.$$

Правило может применяться многократно, если предел отношения производных снова даёт неопределённую форму. При этом правило не является универсальным: существуют неопределённые формы, для которых предел частного существует, но правило Лопиталя неприменимо (например, когда предел отношения производных не существует, хотя исходный предел существует).

¶Связь с производной

Производная функции определяется как предел частного приращений:

$$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}.$$

Таким образом, производная является частным случаем предела частного, когда знаменатель стремится к нулю. Именно поэтому вычисление производных и пределов неопределённых форм тесно связаны.

¶Примеры

• $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ — классический предел, доказываемый геометрически.
• $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x}{5x^2 - 1} = \frac{3}{5}$ — предел отношения многочленов равен отношению старших коэффициентов при равных степенях.
• $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ — предел, определяющий производную показательной функции в нуле.
• $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$ — логарифм растёт медленнее линейной функции.

¶Применение

Пределы частных используются при исследовании функций на монотонность и выпуклость (правило Лопиталя), при вычислении асимптот, в теории вероятностей (пределы отношений случайных величин), в численных методах (схемы Ньютона и секущих основаны на пределах отношений приращений).

¶Источники

• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа.
• Фихтенгольц Г. М. Курс математического анализа.
• Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.
• Лопиталь Ф. де. Анализ бесконечно малых (1696).