Предел функции и последовательности¶
Предел — это центральное понятие математического анализа, описывающее поведение функции или последовательности при стремлении аргумента (или номера элемента) к некоторому значению или к бесконечности. Понятие предела лежит в основе определений непрерывности, производной и интеграла, то есть всей дифференциального и интегрального исчисления.
¶Предел последовательности
Последовательность чисел $a_1, a_2, a_3, \dots$ имеет предел $a$, если для любого положительного числа $\varepsilon$ найдётся номер $N$, начиная с которого все члены последовательности отстоят от $a$ не более чем на $\varepsilon$: $|a_n - a| < \varepsilon$ при $n > N$. Такую формулировку называют определением предела по Коши (по Гейне). Если предел существует, последовательность называют сходящейся, иначе — расходящейся.
Примеры:
- $a_n = 1/n$ стремится к нулю при $n \to \infty$;
- $a_n = (-1)^n$ не имеет предела, так как колеблется между $-1$ и $1$;
- $a_n = (1 + 1/n)^n$ сходится к числу $e \approx 2{,}71828$.
¶Предел функции
Предел функции $f(x)$ в точке $c$ (обозначается $\lim_{x \to c} f(x) = L$) существует, если для любого $\varepsilon > 0$ найдётся $\delta > 0$ такое, что при $0 < |x - c| < \delta$ выполняется $|f(x) - L| < \varepsilon$. Это так называемое «$\varepsilon$–$\delta$» определение, сформулированное в XIX веке Огюстеном Коши и Карлом Вейерштрассом.
Различают односторонние пределы: правый ($x \to c^+$) и левый ($x \to c^-$). Двусторонний предел существует тогда и только тогда, когда существуют и равны оба односторонних предела.
Отдельно рассматривается предел при $x \to \infty$: функция $f(x)$ имеет предел $L$ при $x \to +\infty$, если для любого $\varepsilon > 0$ найдётся $X$ такое, что при $x > X$ выполняется $|f(x) - L| < \varepsilon$.
¶Свойства пределов
Если существуют пределы $\lim f(x) = A$ и $\lim g(x) = B$, то:
- $\lim (f + g) = A + B$;
- $\lim (f \cdot g) = A \cdot B$;
- $\lim (f / g) = A / B$ при $B \neq 0$;
- если $f(x) \le g(x)$ в окрестности точки, то $A \le B$ («теорема о двух милиционерах», она же — теорема о двух стражах порядка).
Из этих свойств вытекают важные теоремы: о пределе ограниченной монотонной последовательности (она всегда сходится), о пределе средних арифметических и геометрических, о замечательных пределах.
¶Замечательные пределы
Два классических предела, используемых при вычислении неопределённостей:
- $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$.
- $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$.
¶Несуществующие пределы и неопределённости
Предел может не существовать по нескольким причинам: функция неограниченно возрастает (например, $1/x$ при $x \to 0^+$), осциллирует (например, $\sin(1/x)$ при $x \to 0$), или имеет разрыв. Важный частный случай — разрывы первого, второго и третьего родов: точка, в которой односторонние пределы существуют, но не равны (разрыв первого рода), или хотя бы один из них не существует.
При вычислении пределов часто возникают неопределённости вида $0/0$, $\infty/\infty$, $0 \cdot \infty$, $\infty - \infty$, $1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$. Для их разрешения используются замечательные пределы, разложение функций в ряд Тейлора, правило Лопиталя и другие методы.
¶История
Понятие предела в неявном виде использовали ещё Архимед и его последователи при вычислении площадей и объёмов (метод исчерпания). В XVII веке Ньютон и Лейбниц опирались на понятие «бесконечно малых» без строгого обоснования. Строгую теорию предела создали в первой половине XIX века Огюстен Коши, а затем Карл Вейерштрасс, сформулировавший «$\varepsilon$–$\delta$» определение. В России вклад в развитие теории пределов внесли Михаил Остроградский, Пафнутий Чебышёв, Андрей Марков и другие математики.
¶Применение
Теория пределов применяется во всех разделах математического анализа: при определении непрерывности функции, производной (предел отношения приращений функции к приращению аргумента), интеграла (предел сумм Римана), суммы ряда. Понятие предела используется в топологии (замыкание множества), теории вероятностей (закон больших чисел формулируется через пределы) и вычислительной математике (оценка погрешности).
Источники:
- Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа.
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.
- Ильин В. А., Садовничий В. А., Соболевский П. Е. Лекции по математическому анализу.
- Борисов Ю. С. Пределы последовательностей и функций.