Предел функции — основное понятие математического анализа¶

Предел функции — это центральное понятие математического анализа, описывающее поведение значения функции при приближении независимой переменной к некоторому числу или к бесконечности. Понятие предела лежит в основе определений непрерывности, производной и интеграла и было строго сформулировано в XIX веке математиками Огюстеном Коши и Карлом Вейерштрассом.

¶Определение

Пусть функция $f(x)$ определена в проколённой окрестности точки $x_0$ (то есть в некоторой окрестности $x_0$, исключая саму точку $x_0$). Число $A$ называется пределом функции $f(x)$ при $x \to x_0$, если для любого положительного числа $\varespsilon$ существует положительное число $\delta$ такое, что для всех $x$, удовлетворяющих условию $0 < |x - x_0| < \delta$, выполняется неравенство $|f(x) - A| < \varepsilon$.

Обозначается это так:

$$\lim_{x \to x_0} f(x) = A.$$

Формальное определение, предложенное Вейерштрассом, часто называют «$\varepsilon$–$\delta$-определением». Суть его состоит в том, что предел существует и равен $A$, если значения функции могут быть сделаны сколь угодно близкими к $A$, достаточно близко подойдя к точке $x_0$.

¶Основные свойства

Если существуют пределы $\lim f(x) = A$ и $\lim g(x) = B$, то:

• предел суммы равен сумме пределов: $\lim(f + g) = A + B$;
• предел произведения равен произведению пределов: $\lim(f \cdot g) = A \cdot B$;
• предел частного равен частнике пределов при $B \neq 0$: $\lim(f / g) = A / B$;
• если $f(x) \le g(x)$ в некоторой окрестности $x_0$, то $A \le B$ (теорема о сравнении);
• если значения $f(x)$ ограничены в окрестности $x_0$, а последовательность $x_n \to x_0$, то $\lim f(x_n)$ существует (критерий Коши).

¶Связь с пределом последовательности

Предел функции тесно связан с пределом числовой последовательности. Фундаментальная теорема (критерий Гейне) утверждает: $\lim_{x \to x_0} f(x) = A$ тогда и только тогда, когда для любой последовательности $x_n \to x_0$, $x_n \ne x_0$, выполняется $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = A$. Этот критерий позволяет сводить задачи о пределах функций к задачам о пределах последовательностей.

¶Односторонние пределы

Если при приближении $x$ к $x_0$ только справа (т.е. $x > x_0$) функция стремится к числу $A$, говорят о правом пределе:

$$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = A.$$

Аналогично определяется левый предел $\lim_{x \to x_0^-} f(x)$. Для существования двустороннего предела необходимо и достаточно, чтобы оба односторонних предела существовали и были равны.

¶Предел при бесконечности

Понятие предела распространяется и на случаи, когда аргумент стремится к бесконечности. $\lim_{x \to \infty} f(x) = A$ означает, что для любого $\varepsilon > 0$ найдётся $X$ такое, что при $x > X$ выполняется $|f(x) - A| < \varepsilon$. Аналогично определяется предел при $x \to -\infty$ и предел функции при $x \to \pm\infty$.

¶Неопределённые выражения

При вычислении пределов часто возникают неопределённые вида $0/0$, $\infty/\infty$, $0 \cdot \infty$, $\infty - \infty$, $1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$. Для их разрешения используются:

• Правило Лопиталя — если предел отношения двух функций не определён, и обе стремятся к нулю или обе к бесконечности, то предел отношения равен пределу отношения их производных (при выполнении условий теоремы).
• Замены бесконечно малых — при $x \to 0$ справедливы соотношения $\sin x \sim x$, $1 - \cos x \sim x^2/2$, $e^x - 1 \sim x$, $\ln(1+x) \sim x$.
• Разложение в ряд Тейлора — позволяет находить асимптотику функции вблизи точки.

¶Значение понятия

Понятие предела позволяет строго определить:

• непрерывность — функция непрерывна в точке $x_0$, если $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$;
• производную — как предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю;
• интеграл — как предел сумм Римана при стремлении нормы разбиения к нулю.

Именно с уточнения понятия предела в XIX веке началась «строгая революция» в математике, превратившая математический анализ из набора вычислительных приёмов в строгую дисциплину.

¶История

До XIX века понятие предела использовалось нестрого: Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц опирались на представления об «исчезающих величинах». Огюстен Коши в 1820-х годах дал первое строгое определение предела. Карл Вейерштрасс в 1860-х годах сформулировал современное $\varepsilon$–$\delta$-определение, устранив нестрогости, связанные с геометрическими интуициями.

¶Источники

• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа
• Фихтенгольц Г. М. Курс математического анализа
• Зорич В. А. Математический анализ
• Коши А. Л. Анализ алгебраический (1821)
• Вейерштрасс К. Лекции по анализу