Простая кубическая решётка

Простая кубическая решётка — это один из трёх типов кристаллических решёток кубической сингонии, в которой узлы (атомы, ионы или молекулы) располагаются только в вершинах элементарной ячейки, имеющей форму куба. Данная решётка является наименее плотноупакованной среди всех кубических решёток и характеризуется координационным числом, равным 6. Простая кубическая решётка редко встречается в природе среди химических элементов, однако широко используется в теоретической физике и математическом моделировании как базовая модель для изучения свойств кристаллов.

Геометрическое описание

Элементарная ячейка простой кубической решётки представляет собой куб с длиной ребра \(a\), называемой параметром решётки. В каждой из восьми вершин куба находится один узел. Поскольку каждый узел принадлежит одновременно восьми соседним ячейкам, на одну элементарную ячейку приходится \(8 \times \frac{1}{8} = 1\) узел. Таким образом, простая кубическая решётка содержит один атом на элементарную ячейку.

Параметры решётки

• Координационное число: 6 (каждый узел имеет шесть ближайших соседей на расстоянии \(a\)).
• Расстояние до ближайшего соседа: \(d = a\).
• Объём элементарной ячейки: \(V = a^3\).
• Коэффициент заполнения (плотность упаковки): \(\frac{\pi}{6} \approx 0.5236\) (около 52,36 % объёма занято атомами, если считать их твёрдыми сферами радиусом \(a/2\)).

Узлы и их координаты

В декартовой системе координат, где начало совмещено с одним из узлов, координаты всех узлов решётки задаются целыми числами: \((x, y, z)\), где \(x, y, z \in \mathbb{Z}\). Элементарная ячейка включает узлы с координатами \((0,0,0)\), \((1,0,0)\), \((0,1,0)\), \((0,0,1)\), \((1,1,0)\), \((1,0,1)\), \((0,1,1)\), \((1,1,1)\).

Кристаллография и симметрия

Простая кубическая решётка относится к кубической сингонии и имеет пространственную группу \(Pm\bar{3}m\) (номер 221 по международной таблице). Точечная группа симметрии — \(m\bar{3}m\) (полная кубическая симметрия). Решётка обладает всеми элементами симметрии куба: три оси 4-го порядка, четыре оси 3-го порядка, шесть осей 2-го порядка, девять плоскостей симметрии и центр инверсии.

Обратная решётка

Обратная решётка для простой кубической решётки также является простой кубической с параметром \(b = 2\pi / a\). Зона Бриллюэна представляет собой куб с центром в точке \(\Gamma\) (\(k=0\)), ограниченный плоскостями \(k_x = \pm \pi/a\), \(k_y = \pm \pi/a\), \(k_z = \pm \pi/a\).

Распространённость в природе

Простая кубическая решётка встречается крайне редко среди химических элементов и простых веществ. При стандартных условиях ни один из металлов не кристаллизуется в этой структуре. Исключением является полоний (Po), который при температуре ниже 54 °C имеет простую кубическую решётку с параметром \(a \approx 3.35\) Å. При более высоких температурах полоний переходит в ромбоэдрическую модификацию.

Среди соединений простая кубическая решётка характерна для некоторых ионных кристаллов, например, для хлорида цезия (CsCl) при высоких температурах, хотя в стандартных условиях CsCl имеет структуру типа «хлорид цезия» (объёмно-центрированная кубическая решётка с двумя атомами на ячейку). Также простая кубическая решётка встречается в некоторых перовскитах и сложных оксидах.

Физические свойства

Из-за низкой плотности упаковки (52 %) простая кубическая решётка обладает рядом характерных физических свойств:

• Модуль упругости: относительно низкий по сравнению с плотноупакованными структурами (ГЦК, ОЦК).
• Электронные свойства: в рамках модели почти свободных электронов зонная структура простой кубической решётки приводит к образованию энергетических щелей на границах зоны Бриллюэна. Для щелочных металлов простая кубическая решётка не характерна, так как они предпочитают ОЦК или ГЦК.
• Магнитные свойства: в простой кубической решётке возможно антиферромагнитное упорядочение, например, в некоторых оксидах переходных металлов.

Применение в моделировании

Простая кубическая решётка является стандартной моделью для изучения:

• Методы теории твёрдого тела: модель Кронига — Пенни, метод сильной связи, приближение почти свободных электронов.
• Фазовые переходы: модель Изинга на простой кубической решётке используется для исследования ферромагнетизма и критических явлений.
• Диффузия и дефекты: простая кубическая решётка служит простейшей моделью для расчёта энергии миграции вакансий и межузельных атомов.
• Метод Монте-Карло: многие алгоритмы (например, модель решёточного газа) реализуются на простой кубической решётке.

Сравнение с другими кубическими решётками

Интересные факты

• Простая кубическая решётка является одной из 14 решёток Браве, описывающих все возможные типы трансляционной симметрии в трёхмерном пространстве.
• В математике простая кубическая решётка соответствует решётке целых чисел \(\mathbb{Z}^3\).
• Несмотря на редкость в природе, простая кубическая решётка часто используется в учебных целях как первая модель кристаллической структуры, изучаемая студентами физических и материаловедческих специальностей.
• В некоторых искусственных структурах, таких как фотонные кристаллы и метаматериалы, простая кубическая решётка может быть реализована путём литографии или самосборки.

Источники

• Киттель Ч. «Введение в физику твёрдого тела» (8-е издание, 2005).
• Ашкрофт Н., Мермин Н. «Физика твёрдого тела» (том 1, 1979).
• International Tables for Crystallography, Volume A: Space-group symmetry (6th edition, 2016).
• Greenwood N. N., Earnshaw A. «Chemistry of the Elements» (2nd edition, 1997).
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. «Статистическая физика» (часть 1, 1976).